一阶导数的应用

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1、课题九 一阶导数的应用 第 1 页 共 3 页 课题九 课题九 一阶导数的应用 一阶导数的应用 【授课时数授课时数】 总时数：4 学时。 【学习目标学习目标】 1、会判断函数的单调性； 2、会求函数的极值； 3、会用导数求解实际问题的最值问题。 【重、难点重、难点】 重点：用导数判断函数的单调性和极值，由函数导数的正负引出。 难点：解最大值与最小值的实际应用题，由实例讲解方法。 【授课内容授课内容】 前面我们学习了函数与导数的关系， 下面我们再来研究函数的单调性和极值的判 别方法。 一、函数的单调性与极值 1函数的单调性 (1)定义: (2)判断定理： 设函数 ) (x f y = 在闭区间

2、, b a 上连续，在开区间 ) , ( b a 内可导，有 若 ) , ( b a x 时， 0 ) ( x f ) 0 ) ( ( x f 或 ，则 ) (x f y = 在 , b a 上单调增加； 若 ) , ( b a x 时， 0 ) ( x 时， x x 1 3 2 思考题某项目的利润有两个方案供选择，它们的关系是 1 3 ) ( 1 + = t t t L 与 1 ) ( 2 2 + = t t t L ，其中t为时间。问 1 = t 时，二方案哪个最优？ 二、最大值和最小值问题 在工农业生产和科学研究、经营管理中，常常要解决在一定条件下“用料最省” 、 “产量最多： ” 、

3、“效率最高”和“成本最低”等最优化问题。 1闭区间上连续函数的最值： (1)定义: (2)方法（步骤） ： 求出函数 ) (x f y = 在相应的开区间内的所有极值； 求出区间端点的函数值； 比较求出的所有值，最大的为最大值，最小的为最小值。 特别：若连续单增（或单减）函数的最值在端点处取得。 例 8求函数 5 4 ) ( 2 4 = x x x f ，在 3 , 1 x 上的最值。 例 9求函数 ) 1 ln( 1 ) ( 2 x x f + = 在 2 , 1 的最值。 练习：求函数 2 ) ( x e x f = 在 2 , 1 上的最值。 2开区间内可导函数的最值： 在开区间内可导且

4、有唯一极值的函数，若该极值为极大值则为最大值；若该极值 为极小值则为最小值。 例 10求函数 2 ) ( x e x f = 在 ) 3 , 1 ( x 的最值。 3函数最值的应用 例 11例 11 某工厂需把一长 12m，宽 6m，高 2m 的铁制水箱吊起平放在 6m 高的柱子上，但厂里只课题九 一阶导数的应用 第 3 页 共 3 页 有一台臂长 15m 的吊车，吊车底座高 1.5m，能否将水箱吊到柱子上？ 例 12铁路线上 AB 段距离为 100 千米，工厂 C 距 A 处为 20 千米，ACAB。 为了运输需要，要在铁路沿线选 一点 D 向工厂修筑一条公路， 若 铁路与公路的每千米的运费

5、之 比为 3:5， 为了使货物从供应站 B 运到工厂 C 的运费最省， 则 D 应 建在何处？ 例 13某房地产公司有 50 套公寓要出租，当租金定为每月 180 元时，公寓会全 部租出去当租金每月增加 10 元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月 需花费 20 元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？ 例 14 由直线 8 0 = = x y ， 及抛物线 2 x y = 围成一个曲边三角形， 在曲边 2 x y = 上 求一点，使曲线在该点处的切线与直线 8 0 = = x y ， 所围成三角形的面积最大。 【授课小结授课小结】 通过本课题学习，学生应该达到： 1会用导数判断函数的单调性和极值； 2会用导数求解实际问题的最值问题。 【课后练习课后练习】 1P031 P031 习题 习题 2.6； 2.6； 2P0342P034 习题 习题 2.7。2.7。