刚体的动量与角动量

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1、第五章第五章 刚体的转动刚体的转动 rotation of a rigid bodyrotation of a rigid bodyDate1郑建洲5- 1 刚体的平动、转动和定轴转动1. 刚体rigid body 刚体是一种特殊的质点系统 ， 无论它在多大外力作用下，系统内 任意两质点间的距离始终保持不变 。2、刚体的平动：translation of a rigid body当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的 直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运 动叫平动。Date2郑建洲刚体的平动过程刚体的平动过程bca平动和转动刚体的平动过程刚体的平动过程bca平动和转动bcab刚体的平动过

2、程刚体的平动过程平动和转动bca刚体的平动过程刚体的平动过程平动和转动bca刚体的平动过程刚体的平动过程平动和转动bca刚体的平动过程刚体的平动过程平动和转动bca刚体的平动过程刚体的平动过程平动和转动bca刚体的平动过程刚体的平动过程平动和转动bca刚体的平动过程刚体的平动过程平动和转动刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中所质点的位移都是相同的。而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同的。所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。 平动和转动Date12郑建洲3. 3.

3、刚体的定轴转动刚体的定轴转动 rotation of a rigid body around a fix axis 定轴转动：定轴转动刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。特点：角位移，角速度和角加速度均相同； 质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周 运动。刚体的定轴转动角位移角速度角加速度定轴转动刚体运动的角量描述:Date14郑建洲4. 角速度矢量 angular velocity vector角速度角速度的方向：与刚 体转动方向呈右手螺旋关 系。角速度矢量在定轴转动中，角速 度的方向沿转轴方向。Date15郑建洲5、角量与线量的关系:对时间微分方向对于匀

4、加速转动,有下面公式:Date16郑建洲(1) 滑轮的角加速度。(2) 开始上升后,5秒末滑轮的角速度(3) 在这5秒内滑轮转过的圈数。(4) 开始上升后,1秒末滑轮边缘上一点的加速度(不打滑) 。解: (1) 轮缘上一点的切向加速度与物体的加速度相等 ar例题5-1:一条缆索绕过一定滑论拉动一升降机,滑论半径 为0.5m, 如果升降机从静止开始以 a=0.4m/s2 匀加速上升, 求：Date17郑建洲(2)(3)(4)ar合加速度的方向与轮缘切线方向夹角已知at=a=0.4m/s2Date18郑建洲*例题5-2 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀 地减速，经t=50 s后静止

5、。 （1）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N；（2）求制动开始后t=25s 时飞轮的加速度 ； （3）设飞轮的半径r=1m，求在t=25s 时边缘上一点的速度和加速度。角速度0vanatarO解 （1）设初角度为0方向如图所示 ，Date19郑建洲量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在 t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+at 得角速度从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转 数N 分别为Date20郑建洲角速度（2）t=25s 时飞轮的角速度为Date21郑建洲（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。的方向与0相同

6、 ；的方向垂直于 和 构成的平面，如 图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为角速度由Date22郑建洲边缘上该点的加速度 其中 的方向与 的方向相反， 的方向指向轴心， 的大小为的方向几乎和 相同。角速度Date23郑建洲例题5-3 一飞轮在时间t内转过角度at+bt3-ct4 , 式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。解：飞轮上某点角位置可用表示为 at+bt3-ct4将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为角加速度是角速度对t的导数，因此得由此可见飞轮作的是变加速转动。角速度Date24郑建洲5-2 转动中的功和能 Work and energy in the rotation 1

7、.力矩的功 work done by torque力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动 而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。力 对P 点作功：00 Date25郑建洲因力矩作功：对于刚体定轴转动 情形，因质点间无相对 位移，任何一对内力作 功为零。力矩的功00 Date26郑建洲A、所谓力矩的功，实质上还是力的功，并无任何关于力 矩的功的新的定义，只是在刚体转动中，用力矩和角位移 的积来表示功更为方便而己。B、对于定轴转动刚体，所有内力的功总和在任何过 程中均为零。（内力成对，大小相等方向相反，一对 内力矩的代数和为零；内力矩的功总和为零。另一 角度，内力的功 相对位移为零 .）C、功率：

8、当 M 与 同方向，A 和P 为正 当 M 与 反方向， A 和P 为负说明：Date27郑建洲1).刚体的转动动能:刚体是有许多质点组成的,第 i 小块质点的动能总动能:质点运动的动能2.刚体的转动动能rotational kinetic energy of a rigid bodyDate28郑建洲2).转动惯量: rotational inertia (moment of inertia)如果刚体是连续分布的质点系转动惯量的物理意义平动：质点平动动能动量刚体的转动动能转动：角动量可见，转动惯量J是转动中惯性大小的量度 Date29郑建洲说明：A、转动动能定理也与质点动力学中讲的动能定理

9、相同，只是动能的表示形式不同而己， B、对刚体，内力的功总和在任何过程中都为零。3、定轴转动的动能定律 rotational kinetic energy theorem 把质点系的动能定理应用到定轴转动的刚体，由 于刚体内各个质元间相互不作功，Ainr=0, 而 Aext=Md.则刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的 功等于刚体转动动能的增量。Date30郑建洲4、刚体的重力势能:xyzoCDate31郑建洲质元的质量质元到转轴的距离转动惯量的计算刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写成积分形式5.3 转动惯量的计算Calculation of moment of inertia

10、 (Calculation of rotational inertia)按转动惯量的定义有Date32郑建洲转动惯量是转动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。转动惯量的计算区别：平动： 平动动能 线动量转动： 转动动能 角动量Date33郑建洲例题5.4 P146,均匀圆环 ：dmC RDate34郑建洲转动惯量的计算例题5.5 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。rRdr解 设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、 宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的 质量dm= 2rdr 。可得Date35郑建洲例5.5 : 计

11、算质量为m, 半径为R, 厚为l 的均匀圆盘的转动惯量.轴与盘面垂直并通过盘心。l解: 圆盘可以认为由许多圆环组成。实心圆柱对轴的转动惯量R0Date36郑建洲例题5.6 求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：（1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；（2）转轴通过棒的一端并和棒垂直；*（3）转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。llOxdxlOxdxAlxdxAA BhDate37郑建洲llOxdxA解 如图所示，在棒上离轴x 处，取一长度元dx，如 棒的质量线密度为，这长度元的质量为dm=dx。（1）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有转动惯量的计算Date38郑建洲因=m/

12、l ，代入得转动惯量的计算（2）当转轴通过棒的一端A并和棒垂直时，我们有lxdxADate39郑建洲转动惯量的计算（3）当转轴通过棒上距中心为h的B点并和棒垂 直时，我们有这个例题表明，同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并不相同。lOxdxABhDate40郑建洲哪种握法转动惯量大？Date41郑建洲转动惯量与质量分布有关转动惯量与材料性质有关平行轴定理:刚体对任一轴的转动惯量J,等于对过中心的平行轴 的转动惯量 、 与二轴间的垂直距离d的平方和 刚体质量的乘积之和。证明略，见例题5.6（3）Date42郑建洲定轴（相当于 ）刚体所受到的对于给定轴的总外力矩等于刚体 对该轴的角动量的时间变化率

13、由转动的动能定律微分形式：5.4 刚体转动定律 law of rotation of a rigid body两边除以dt:Date43郑建洲amm mRMh例题5.8. 已知：M、R、m，绳质量不计，求：物体 由静止开始下落h 高度时的速度和滑轮的角速度。 T1 T2mgT1=T2=T0+）Date44郑建洲m1Rm2*例5.9. 物体 m1m2，滑轮（R，m）。阻力 矩Mf ， 绳子质量忽略，不伸长、不打滑。求重物的加速度及绳中张力解：m1gT1T2m2ga1a2T2T1MfDate45郑建洲1.不计轴上摩擦 Mf=0Date46郑建洲3.不计轴上摩擦、不计滑轮质量(Mf=0, m=0)2

14、.不计滑轮质量 m=0Date47郑建洲解： 外力：重力、轴的作用力重力势能的减少1) 、例5.9：一匀质细杆（l，m）绕光滑水平轴在竖直面内 转动,初始时在水平位置，静止释放， 求: 1)、竖直位置时重力所作的功; 2)、下落角 时的角加速度、角速度;*3)、竖直位置时轴端所受的力。 mg 2）、由转动定律：Date48郑建洲l2l2lll2l2由转动定律：细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度分别为Date49郑建洲*3、转动mgNC质心运动mg llllDate50郑建洲质点mi对O点的角动量为：因vi垂直于Ri,，所以Li的大小为刚体对O点的角动量，等于各质点角动量的 矢量和。L并不

15、和OZ 方向一致。感兴趣的 OZ的分量Lz,叫做刚体绕定轴的角动量，即转动惯量J一、刚体的角动量 angular momentum of a rigid body5.5 刚体定轴转动的角动量守恒law of conservation of angular momentum of a rotational rigid body around a fix axisDate51郑建洲二、定轴转动刚体的角动量定理 angular momentum theorem of a rotational rigid body around a fix axis转动物体所受合外力矩的冲量矩等于 在这段时间内转动物体角动量的增量-角 动量定理。所以 由转动定律Date52郑建洲当物体所受合外力矩等于零时，物体的当物体所受合外力矩等于零时，物体的 角动量保持不变。角动量保持不变。-角动量守恒定律角动量守恒定律若则由角动量定理三、 定轴转动刚体的角动量守恒定律 law of conservation of angular momentum of a rotational rigid body around a fix axis角动量守恒定律：Date53郑建洲讨论：a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变，当合外力矩