《20080421高一数学(1.1.1任意角)[1]》由会员分享,可在线阅读,更多相关《20080421高一数学(1.1.1任意角)[1](24页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角第一章 三角函数 问题提出 1.角是平面几何中的一个基本图形,角 是可以度量其大小的.在平面几何中,角 的取值范围如何? 2.体操是力与美的结合,也充满了角的 概念2002年11月22日,在匈牙利德布 勒森举行的第36届世界体操锦标赛中, “李小鹏跳”“踺子后手翻转体180 度接直体前空翻转体900度”,震惊四座 ,这里的转体180度、 转体900度就是一 个角的概念. 3.过去我们学习了0360范围的角 ,但在实际问题中还会遇到其他角如 在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中 ,常常听到“转体1080”、“转体 1260”这样的解说再如钟表的指针、 拧动
2、螺丝的扳手、机器上的轮盘等,它 们按照不同方向旋转所成的角,不全是 0360范围内的角.因此,仅有0 360范围内的角是不够的,我们必须将 角的概念进行推广. 知识探究(一):角的概念的推广 思考1:对于角的图形特点有如下两种认 识:角是由平面内一点引出的两条射 线所组成的图形(如图1);角是由平 面内一条射线绕其端点从一个位置旋转 到另一个位置所组成的图形(如图2). 你认为哪种认识更科学、合理? 图2图1思考2:如图,一条射线的端点是O,它 从起始位置OA旋转到终止位置OB,形成 了一个角,其中点O,射线OA、OB分别 叫什么名称?AOB始边终边顶点思考3:在齿轮传动中,被动轮与主动轮 是
3、按相反方向旋转的.一般地,一条射线 绕其端点旋转,既可以按逆时针方向旋 转,也可以按顺时针方向旋转.你认为将 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60 所形成的角,与按顺时针方向旋转60所 形成的角是否相等? 思考4:为了区分形成角的两种不同的旋 转方向,可以作怎样的规定?如果一条 射线没有作任何旋转,它还形成一个角 吗? 规定: 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角, 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角 如果一条射线没有作任何旋转,则称它 形成了一个零角.画图表示一个大小一定的角 ,先画一条射线作为角的始 边,再由角的正负确定角的 旋转方向,再由角的绝对值 大小确定角的旋转量,画出 角的终边,并用带箭
4、头的螺 旋线加以标注. B2 AB1O思考5:度量一个角的大小,既要考虑旋转方 向,又要考虑旋转量,通过上述规定,角的 范围就扩展到了任意大小. 对于210, 150,660,你能用图形表示这些 角吗?你能总结一下作图的要点吗? 思考6:如果你的手表慢了20分钟,或快 了1.25小时,你应该将分钟分别旋转多 少度才能将时间校准? 120,450.思考7:任意两个角的数量大小可以相加 、相减,如 5080=130, 5080=30,你能解释一下这两 个式子的几何意义吗? 以50角的终边为始边,逆时针(或顺时 针)旋转80所成的角. 思考8:一个角的始边与终边可以重合吗 ?如果可以,这样的角的大小
5、有什么特 点? k360(kZ) 知识探究(二):象限角 、轴线角思考1:为了进一步研究角的需要,我们 常在直角坐标系内讨论角,并使角的顶 点与原点重合,角的始边与x轴的非负半 轴重合,那么对一个任意角,角的终边 可能落在哪些位置? xoy思考2:如果角的终边在第几象限,我们 就说这个角是第几象限的角;如果角的 终边在坐标轴上,就认为这个角不属于 如何象限,或称这个角为轴线角.那么下 列各角:-50,405,210, -200,450分别是第几象限的角?50xyoxyo210450 xyo 405xyo 200xyo思考3:锐角与第一象限的角是什么逻辑 关系?钝角与第二象限的角是什么逻辑 关系
6、?直角与轴线角是什么逻辑关系?思考4:第二象限的角一定比第一象限的 角大吗? 象限角只能反映角的终边所 在象限,不能反映角的大小. 知识探究(三):终边相同的角 思考1:32,328,392是第几 象限的角?这些角有什么内在联系?32392xyo328思考2:与32角终边相同的角有多少个 ?这些角与32角在数量上相差多少? 思考3:所有与32角终边相同的角, 连同32角在内,可构成一个集合S, 你能用描述法表示集合S吗? S=|=k360,kZ,即任 一与终边相同的角,都可以表示成角 与整数个周角的和.思考4:一般地,所有与角终边相同的 角,连同角在内所构成的集合S可以怎 样表示? 思考5:在
7、直角坐标系中,135角的终 边在什么位置?终边在该位置的角一定 是135吗?xyo思考6:终边在x轴正半轴、负半轴,y轴 正半轴、负半轴上的角分别如何表示? x轴正半轴:= k360,kZ ; x轴负半轴:= 180k360,kZ ; y轴正半轴:= 90k360,kZ ; y轴负半轴:= 270k360,kZ .思考7:终边在x轴、y轴上的角的集合分 别如何表示? 终边在x轴上:S=|=k180,kZ ;终边在y轴上:S=|=90k180 , kZ. 思考8:第一、二、三、四象限的角的集 合分别如何表示? 第一象限: S=|k3600900k3600,kZ; 第二象限: S=|900k360
8、01800+k3600,kZ ;第三象限: S=|1800 k36002700+k3600,kZ;第四象限: S=|900k3600k3600,kZ.思考9:如果是第二象限的角,那么 2、/2分别是第几象限的角?90k360180 k360 180k7202360k72045k180/290 k180理论迁移 例1 在0360范围内,找出 与95012角终边相同的角,并判 定它是第几象限角. 12948,第二象限角.例2 求与3900终边相同的最小 正角和最大负角.300,-60.S=|=45k180,kZ.例3 写出终边在直线y=x上的角的集 合S,并把S中适合不等式-360 720的元素写出来. 315,-135,45,225, 405,585. 例4 已知角的终边与30角的 终边关于x轴对称,试在0360范 围内,找出与 终边相同的角. 110, 230, 350.小结:1.角的概念推广后,角的大小可以任意取值 . 把角放在直角坐标系中进行研究,对于一 个给定的角,都有唯一的一条终边与之对应 ,并使得角具有代数和几何双重意义.2.终边相同的角有无数个,在0360范 围内与已知角终边相同的角有且只有一个. 用除以360,若所得的商为k,余数为 (必须是正数),则即为所找的角.