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1、金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧2金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 题目：设湖岸MN是一条直线，有一小船自岸边 的A点沿与湖岸成15角的方向匀速向湖中驶 去，有一个人自A点同时出发，他先沿岸走一 段再入水中游泳去追小船.已知人在岸上走的速度 为v1 =4m/s，在水中游泳的速度为v22m/s，试 求小船的速度至多为多大时，这人才能追上小船 ？MNAVmax=?3金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 方法1：微元法如图，设人在D点入水并在B点刚好能追上小船，这表明 ：此时人追上小船所用时间
2、最少，对应的小船速度最大.FE CB MNAD现设C、E是D点两侧附近无限靠近D点的两点，并 设分别从C、E点入水追小船所用总时间相等.现在BC段截取BF=BE，那么BFE90.由于从C、E点入水追小船所用总时间相等，所以，人 在CE段走与在CF段游泳所用时间相等.D点两侧各有入水点C和E，使得在该处入水追 船所用时间相等.4金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 于是所以因为C、E两点无限靠近D点，所以BDN60.FDA E CMNBK作BKBD交MN于K，于是DK=2BD. 又因为v1=2v2,则人游DK段与走DK段所用时间相等.所以 人自出发经D点再到B点与人
3、由A点一直走到K点所用时间 相同，并都等于小船从A到B所用的最少时间.5金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 即有在ABK中， 用正弦定理可 得：那么FDA E CMNBK6金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 方法2：类比法BD设想MN为甲和乙两种介质的 分界面，光在甲中的速度为 v1，在乙中的速度为v2， 据费马原理可知，BDA是光从B传传到A费时费时 最少 的路径，而是临临界角. 这这可类类比本题题人从A经经D到B 的追船情况. 由此得：下面解法与方法1相同.最后可得：MA乙甲N7金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说
4、好老师都说好! ! 方法3：图解法MNEAK如图，设人开始 运动就一直游泳 ，那么他能到达 的区域 是以A为圆心、以v2t为半径的半圆中的任何一点，若他 一直沿湖岸走，那么他在t时间内可以到达AKv1t中的 任何一点，若他先沿岸走一段再入水追船，那么 他可以 在t时间内到达图中AEF中的任何一点.所以，他若能 追上船，船也必须在t时间内到达这区域.B由于题设小船沿角的方向运动，所以沿此方向的直 线与EK线的交点B是船以最大速度运动且又能被人追上 的地点.8金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! B MNEAK在RtAEK中， 因为AK=2AE， 所以AKE 30，
5、于是，ABK180 15 30135 在ABK中,据正弦定理得：而所以9金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 方法4：矢量图解法设人先沿岸走一段，再入水 追船，以船为参考系， 由于人和船是同时由A点出发的，则人在沿岸走时，船 看到人正在由船所在位置逐渐“离去”，离去的相对速度 为 ： KMNA要人能追上船，即人能回到船上，则其返回的相对速度 必须沿 的反方向，返回的相对速度 为：C作图：(1)以MN线上的A点为起点作矢量 得K点； (2)以A点为圆心，以v2的大小为半径作圆; (3)作直线AC，使它与MN线的夹角为15；10金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网
6、老师都说好老师都说好! ! EBMNACK设K点与圆上的任一点E的 连线与AC线的交点为B， 则AB表示船速，BK表示 人相对船的“离开”速度 ，而BE表示人相对船的“ 返回”速度 . 显然，当KE与圆相切时，AB 线最长，表示船速最大， 由此有作图步骤:由于AK=AE，所以，AKF30， ABE45.因而ABE为等腰直角三角形，那么（4）作KE与圆相切于E点，并与AC相交于B点.11金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 方法5：等效法MNAB设人在B点追上船， 则人到达B点可能有很 多途径，如ACB， ADB,AEB等, 这些途径中耗时最少的途径对应着允许的最大
7、船速， 作NAP30，并分别作CK,DH,EF垂直AP，其中设 BDH为直线，CDEKHFP30又设想MN线下方也变成湖水区域， 则因为AC=2CK,所以人由K点游泳到C点所用时间与 人在岸上走由A点到C点所用时间是相等的. 故人按题设情况经路径ACB所用时间与假想人全部 在水中游泳游过路径KCB所用时间时间 相等， 同理，人按题设情况经路径ADB所用时间与假想 人全部在水中游泳游过路径HDB所用时间相等，12金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 人按题设情况经路径 AEB所用时间与假想 人全部在水中游泳游过路 径FEB所用时间相等 ，CDEKHFP30MNAB显
8、然，在这些途径中，因为 HDB是直线，因此所用时间最少. 由以上分析可知，人沿等效途径HDB游泳就费时最少地 刚好追上船，这对应着最大船速，设为vmax，则有因为AHB是等腰直角三角形，所以故得13金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 方法6：极值法（利用三角函数）MNABCD 如图，设人沿岸走到D点时，船航 行到C点，此时人入水游泳就刚好 能在B点追上船. 在ACD中应用正弦定理得又设此时船速为v，人由A点走到D点耗时为t，则由以上两式得14金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! MNABCD 又在CDB中应用正弦定理得设人游过DB段
9、所用时间为 ,则由以上两式得由（1）、（2）式，并注意 ，可得15金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! MNABCD 又由于 ， 要v尽可能大，即需AC/AD尽可能大， 而越大，则则AC越大， 也越大，且（）为锐角，则sin （）随（ ）增大而增大，故得sin （）最大时，最大，由于为为恒量，则则越大，则由（3）式可见，当sin （）1时，sin （）有最大值为1/2，此时对应的值为值为 ，由此得 ，于是CDB是等腰直角三角形，则有16金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! MNABCD 所以，17金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网
10、 老师都说好老师都说好! ! 方法7：极值法（利用一元二次函数判别式）如图，设船出发后经时间t被人追上. 则船的位移为s=vt，又设人在岸上走 用时为kt（0k1)，位移为s1=kv1t, 人在湖中游用时为(1k)t（0k1) ，位移为s2=(1-k)v2t. 那么，据余弦定理有： 把s、s1、s2的表达式及v1、v2的值代入并整理可得又于是有NMASBS1S2 D18金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 要这方程有实数解，其判别式应满足：由此可解得：或由本题的物理情景可知只能取：19金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 方法8：极值
11、法（利用一元二次函数判别式）如图，设人在岸上D处入水追船，运 动方向与湖岸成角,并在B点处处追上 船，这这人由ADB用时为时为 t .则则上式表明：t与有关，且在d、L、v1、v2一定时时，由决 定,研究函数dDMNABL20金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 两边平方得：整理后得：此方程有实数解的条件是：判别式0，即有21金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 由此解得：所以由（3）、（4）式得：22金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 这表明当60时，函数y有最小值，由（1）式知此 时t有最小值,对应的船速有最大值. 把 、 、 、 代入（1）式得：对应的最大船速为：
