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1、金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧2金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 题目:设湖岸MN是一条直线,有一小船自岸边 的A点沿与湖岸成15角的方向匀速向湖中驶 去,有一个人自A点同时出发,他先沿岸走一 段再入水中游泳去追小船.已知人在岸上走的速度 为v1 =4m/s,在水中游泳的速度为v22m/s,试 求小船的速度至多为多大时,这人才能追上小船 ?MNAVmax=?3金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 方法1:微元法如图,设人在D点入水并在B点刚好能追上小船,这表明 :此时人追上小船所用时间
2、最少,对应的小船速度最大.FE CB MNAD现设C、E是D点两侧附近无限靠近D点的两点,并 设分别从C、E点入水追小船所用总时间相等.现在BC段截取BF=BE,那么BFE90.由于从C、E点入水追小船所用总时间相等,所以,人 在CE段走与在CF段游泳所用时间相等.D点两侧各有入水点C和E,使得在该处入水追 船所用时间相等.4金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 于是所以因为C、E两点无限靠近D点,所以BDN60.FDA E CMNBK作BKBD交MN于K,于是DK=2BD. 又因为v1=2v2,则人游DK段与走DK段所用时间相等.所以 人自出发经D点再到B点与人
3、由A点一直走到K点所用时间 相同,并都等于小船从A到B所用的最少时间.5金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 即有在ABK中, 用正弦定理可 得:那么FDA E CMNBK6金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 方法2:类比法BD设想MN为甲和乙两种介质的 分界面,光在甲中的速度为 v1,在乙中的速度为v2, 据费马原理可知,BDA是光从B传传到A费时费时 最少 的路径,而是临临界角. 这这可类类比本题题人从A经经D到B 的追船情况. 由此得:下面解法与方法1相同.最后可得:MA乙甲N7金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说
4、好老师都说好! ! 方法3:图解法MNEAK如图,设人开始 运动就一直游泳 ,那么他能到达 的区域 是以A为圆心、以v2t为半径的半圆中的任何一点,若他 一直沿湖岸走,那么他在t时间内可以到达AKv1t中的 任何一点,若他先沿岸走一段再入水追船,那么 他可以 在t时间内到达图中AEF中的任何一点.所以,他若能 追上船,船也必须在t时间内到达这区域.B由于题设小船沿角的方向运动,所以沿此方向的直 线与EK线的交点B是船以最大速度运动且又能被人追上 的地点.8金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! B MNEAK在RtAEK中, 因为AK=2AE, 所以AKE 30,
5、于是,ABK180 15 30135 在ABK中,据正弦定理得:而所以9金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 方法4:矢量图解法设人先沿岸走一段,再入水 追船,以船为参考系, 由于人和船是同时由A点出发的,则人在沿岸走时,船 看到人正在由船所在位置逐渐“离去”,离去的相对速度 为 : KMNA要人能追上船,即人能回到船上,则其返回的相对速度 必须沿 的反方向,返回的相对速度 为:C作图:(1)以MN线上的A点为起点作矢量 得K点; (2)以A点为圆心,以v2的大小为半径作圆; (3)作直线AC,使它与MN线的夹角为15;10金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网
6、老师都说好老师都说好! ! EBMNACK设K点与圆上的任一点E的 连线与AC线的交点为B, 则AB表示船速,BK表示 人相对船的“离开”速度 ,而BE表示人相对船的“ 返回”速度 . 显然,当KE与圆相切时,AB 线最长,表示船速最大, 由此有作图步骤:由于AK=AE,所以,AKF30, ABE45.因而ABE为等腰直角三角形,那么(4)作KE与圆相切于E点,并与AC相交于B点.11金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 方法5:等效法MNAB设人在B点追上船, 则人到达B点可能有很 多途径,如ACB, ADB,AEB等, 这些途径中耗时最少的途径对应着允许的最大
7、船速, 作NAP30,并分别作CK,DH,EF垂直AP,其中设 BDH为直线,CDEKHFP30又设想MN线下方也变成湖水区域, 则因为AC=2CK,所以人由K点游泳到C点所用时间与 人在岸上走由A点到C点所用时间是相等的. 故人按题设情况经路径ACB所用时间与假想人全部 在水中游泳游过路径KCB所用时间时间 相等, 同理,人按题设情况经路径ADB所用时间与假想 人全部在水中游泳游过路径HDB所用时间相等,12金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 人按题设情况经路径 AEB所用时间与假想 人全部在水中游泳游过路 径FEB所用时间相等 ,CDEKHFP30MNAB显
8、然,在这些途径中,因为 HDB是直线,因此所用时间最少. 由以上分析可知,人沿等效途径HDB游泳就费时最少地 刚好追上船,这对应着最大船速,设为vmax,则有因为AHB是等腰直角三角形,所以故得13金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 方法6:极值法(利用三角函数)MNABCD 如图,设人沿岸走到D点时,船航 行到C点,此时人入水游泳就刚好 能在B点追上船. 在ACD中应用正弦定理得又设此时船速为v,人由A点走到D点耗时为t,则由以上两式得14金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! MNABCD 又在CDB中应用正弦定理得设人游过DB段
9、所用时间为 ,则由以上两式得由(1)、(2)式,并注意 ,可得15金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! MNABCD 又由于 , 要v尽可能大,即需AC/AD尽可能大, 而越大,则则AC越大, 也越大,且()为锐角,则sin ()随( )增大而增大,故得sin ()最大时,最大,由于为为恒量,则则越大,则由(3)式可见,当sin ()1时,sin ()有最大值为1/2,此时对应的值为值为 ,由此得 ,于是CDB是等腰直角三角形,则有16金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! MNABCD 所以,17金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网
10、 老师都说好老师都说好! ! 方法7:极值法(利用一元二次函数判别式)如图,设船出发后经时间t被人追上. 则船的位移为s=vt,又设人在岸上走 用时为kt(0k1),位移为s1=kv1t, 人在湖中游用时为(1k)t(0k1) ,位移为s2=(1-k)v2t. 那么,据余弦定理有: 把s、s1、s2的表达式及v1、v2的值代入并整理可得又于是有NMASBS1S2 D18金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 要这方程有实数解,其判别式应满足:由此可解得:或由本题的物理情景可知只能取:19金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 方法8:极值
11、法(利用一元二次函数判别式)如图,设人在岸上D处入水追船,运 动方向与湖岸成角,并在B点处处追上 船,这这人由ADB用时为时为 t .则则上式表明:t与有关,且在d、L、v1、v2一定时时,由决 定,研究函数dDMNABL20金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 两边平方得:整理后得:此方程有实数解的条件是:判别式0,即有21金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 由此解得:所以由(3)、(4)式得:22金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 老师都说好老师都说好! ! 这表明当60时,函数y有最小值,由(1)式知此 时t有最小值,对应的船速有最大值. 把 、 、 、 代入(1)式得:对应的最大船速为: