《数学奥林匹克竞赛轮换与对称》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学奥林匹克竞赛轮换与对称（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、中小学教育资源交流中心http:/提供因式分解对称式交代式和轮换式因式分解对称式交代式和轮换式因式分解对称式交代式和轮换式因式分解对称式交代式和轮换式1、基本概念 (1)对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不改变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式。 如ab+,22aabb+,322333aa babb+等都是关于,a b的对称式。一般地，在一个代数式中，无论把其中哪两个字母互换，式子都不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的对称式，如abc+，222abcabbcca+，3333abcabc+等都是关于, ,a b c的对称式。(2)交代式：在一个代数式中，如果把
2、它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。如把ab，22ab中的两个字母 ,a b互换，分别为()baab= ，2222()baab= 则ab，22ab就叫做关于,a b的交代式。(3)轮换式： 在一个代数式中， 如果把所含字母顺次替换(即第一个字母换成第二个字母， 第二个字母换成第三个字母，以此类推，最后一个字母换成第一个字母)，式子不变，那么这 个代数式就叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式，如abc+，abbcca+，3333abcabc+等都是关于 , ,a b c的轮换式。2、齐次对称式的一般形式 (1)二元齐次对称式
3、二元一次齐次对称式：)(baL+；二元二次齐次对称式：MabbaL+)(22；二元三次齐次对称式：)()(33baMabbaL+。(2)三元齐次对称式三元一次齐次对称式：)(cbaL+；三元二次齐次对称式：)()(222cabcabMcbaL+；三元三次齐次对称式：)()()(22233acbcbaMcbaL+Nabcbac+)(2。其中 L，M，N 都是待定的常数，不含有, ,a b c。3、基本性质(1)对称式一定轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如accbba222+是轮换式，但把,a b互换，得到bccaab222+，显然它不是关于 ,a b的对称式。中小学教育资源交流中心http:/
4、提供 (2)两对称式的和、差、积、商一定是对称式；两轮换式的和、差、积、商一定是轮换 式。 (3) 两 交 代 式 的 积 是 对 称 式 ； 一 对 称 式 和 一 交 代 式 的 积 是 交 代 式 。 如22)(bababa=+(对称式交代式=交代式)；)()()(222babababa+=。(交代式交代式=对称式)。(4)有若干个字母的交代式，一定能被其中任意两个字母的差整除，如交代式22ba能被()ab整除。对于轮换式的因式分解，常用的方法是选定一个字母(例如x)作主元，将其余的元看成 确定的数，然后用因式定理来确定它的因式，再利用轮换式的特征，定出几个相应的因式。例如，对一个关于z
5、yx,的轮换式，如已定出yx是它的一个因式，则xzzy ,都是它的因式。 4、对称式、交代式和轮换式的因式分解例 1、分解因式)()()(222bacacbcba+。解：由于原式是关于 , ,a b c的三次齐次交代式，根据性质(4)，它一定能被ab，bc，ca整除，即能被)()(accbba整除。但)()(accbba是三次齐次交代式(性质(3)，)()()(222bacacbcba+)()(accbbaL=。令1, 2, 1=cba，则 3+(3)+(1)=L(1)3(2)。L=1。因此)()()(222bacacbcba+)()(accbba=。例 2、分解因式)()()(233yxzx
6、zyzyx+。解： 由于原式是关于 , ,x y z的四次齐次交代式， 根据性质(4)， 它一定能被xzzyyx,整除，即能被)()(xzzyyx整除。但)()(xzzyyx是三次齐次交代式(性质(3)，原式=)()()(xzzyyxzyxL+。其中)(zyxL+是一次齐次对称式(性质(3)。令0, 1, 2=zyx，则L=+1)2(10)2(8L=1因此)()()()()()(233xzzyyxzyxyxzxzyzyx+=+。例 3、分解因式555)()()(accbba+。解：原式是关于 , ,a b c的五次齐次交代式，仿上两例知它能被)()(accbba整除，中小学教育资源交流中心ht
7、tp:/提供因此原式还应有一个二次齐次对称式的因式)()(222cabcabMcbaL+。555)()()(accbba+)()(222cabcabMcbaL+)()(accbba令1, 1, 0=cba，则 2LM=15，令2, 1, 0=cba，则 5L+2M=15。解 =+= 1525152 MLML得 L=5，M=5。555)()()(accbba+)()()(5222accbbacabcabcba+=。例 4、分解因式abccba3333+。解：由于原式是关于 , ,a b c的三次齐次对称式，如果它能分解，则必有一个一次齐次对称式abc+做为因式，而另一个因式应是二次齐次对称式)(
8、)(222cabcabMcbaL+原式=)(cba+)()(222cabcabMcbaL+。令1, 0=cba，则 L=1；令1, 0=cba，则 2L+M=1，M=1。abccba3333+=)(cba+)(222cabcabcba+。例 5、分解因式5555)(zyxzyx+。解：原式是关于 , ,x y z的五次齐次对称式，所以它如果能分解，必有一个一次对称式因式。我们判断xy+是否是它的因式：假设5555)(zyxzyx+=()xy+Q(Q 是整式)，令xy= ，由05555=+zyyz知原式有因式xy+同理知yz+，zx+都是原式的因式。但)()(xzzyyx+是三次齐次对称式，所以
9、原式应有一个二次齐次对称式的因式：)()(222zxyzxyMzyxL+(性质(3)。5555222()()()() ()()xyzxyzxyyz zx L xyzM xyyzzx+=+令1, 0=zyx，则 2L+M=15；令1=zyx，则 L+M=10。中小学教育资源交流中心http:/提供解 =+=+10152MLML得 L=M=5。5555222()5()()()()xyzxyzxyyz zx xyzxyyzzx+=+。例 6、分解因式：abccbacabcab+)(解：原式是一个关于cba,的对称式，取a为主元，原式可看成是一个关于a的二次多项式)(af当ba=时，原式0)(22=+
10、=cbcbbf。由因式定理，原式含有因式()ab+由对称性，原式还含有因式)(accb+。由于)()(accbba+已是关于cba,的三次式，而原式也只是关于cba,的三次式，故原式不会再由其他因式了。但原式与)()(accbba+还可能相差一个常数因数，故设=+abccbacabcab)()()(accbbak+这是一个关于cba,的恒等式，可通过在等式的两边使cba,取一些特殊值来求出k。例如，取1=cba，代入式，得k88 =，从而1=k。所以原式=)()(accbba+说明：上述解法中的待定系数 ,k也可通过观察确定，由观察易知，式左边2a的系数是cb+ ，而右边关于2a的系数是 ()
11、k bc+，故1=k。如果一个多项式的所有项关于各字母的次数相同，则称为齐次多项式；否则，称为非齐 次多项式。由于在对称式或轮换式中同型项的系数相同，所以三元二次齐次对称式的一般形式是222()()a xyzb xyyzzx+； 三元一次非齐次对称式的一般形式是dzyxc+)(这里dcba,都是常数，三元二次非齐次对称式的一般形式是上面两个式子之和。把对称式或轮换对称式作因式分解时，应注意原式是齐次的还是非齐次的，并由此确定 因式的形式。例 7、分解因式：555)()()(xzzyyx+解：原式是五次齐次轮换式，仿照例 8 的办法知，yx，xzzy ,都是它的一次因式。由原式的齐次性，它还有一
12、个二次齐次因式。由轮换性，这个因式的形式必是222()()a xyzb xyyzzx+； (若为222zyx+， 由轮换式就会有另两个因式222xzy+及222yxz+，这样原式就至少为 9 次)，这里ba, 为待定系数。于是，便有原式=)()()()(222zxyzxybzyxaxzzyyx+取1,1,0xyz= =，代入上式得215ab=；取0, 1, 2=zyx，得5215ab+=关于ba, 的两式联立，解得5, 5=ba。所以中小学教育资源交流中心http:/提供原式=)()()(5222zxyzxyzyxxzzyyx+例 8、分解因式：)()()()()(333accbbabacac
13、bcba+解：原式是四次非齐次轮换式，易知accbba,是它的(一次齐次)因式。由于原式是非齐次的，它的另一个因式必是一次非齐次式，设为lklcbak,)(+待定。于是原式=)()()(lcbakaccbba+取1,2,0abc=，得462kl =+；取1, 1=ba，, 0=c得l22 =解得1, 1=kl所以原式=) 1)()()(+cbaaccbba上面三个例子都是用求根法分解因式，但并非所有的对称式都能按照这种方法来分解因 式。例 9、分解因式：444)(yyxx+分析：原式是二元四次齐次对称式，很难看出x取什么值(关于y的表达式)能使它为零。这里不加证明的告诉读者如下的结论：任何一个
14、二元对称式都可以用yx+及xy表示出来。 例如3223444464)(xyyxyxyxyx+=+=224)(2)(4)(xyyxxyyx+对于给定的对称式，寻求上面这种样子的具体表示方法，对解决某些代数求值问题及利 用韦达定理解某些二次方程的问题是很有用的。 解：由分析中所得表示可见原式=)()(2)(2224xyyxxyyx+=22222)(22)(2yxyxxyyx+=+在一个含有若干个元的多项式中，如果互换任意两个元的位置，多项式不变，这种多项式 叫 做 对称 多项 式( 简 称对 称式 )。 例 如 ，444)(yyxx+是 二 元 对称 多 项 式 ，xyzzyx3333+是三元对称多项式。一个关于wzyx,的多元多项式，若依某种顺序把字母进行轮换(如把x换成y，y换成wz,换成x)，多项式不变，这种多项式叫做轮换对称多项式(简称轮换式)。例如，)()( ,222bacacbcbaxzzyyx+都是三元轮换对称式。显然，对称多项式都是轮换对称多项式，而轮换对称多项式则不一定是对称多项式。例如，222x yy zz x+是轮换式，但因互换yx,，得到的是yzzxxy222+，这已不是原式，所以原式不是对称式。 对于轮换式的因式分解，常用的方法是选定一个字母(例如x)作主元，将其余的元看成 确定
