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1、2.2 逻辑函数的卡诺图化简法 Karnaugh map clear measure of Logic Algebra2.2.2 逻辑函数的最小项表达式2.2.1 最小项的定义及性质2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数二.最大项的定义及其性质 1.最大项:在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和，而且这n 个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次。则称M 为该组变量的最大项。最大项 使最大项为 0的变量取 值对应 的 十进制数编号 A B CA + B + C A + B + C A + B + C A + B + C A + B + C A + B + C A
2、+ B + C A + B + C0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 1 2 3 4 5 6 7 M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M72.最大项的主要性质，这就是 ： 在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且只有一个最 大项的值为0。 全体最大项之积为0. 任意两个最大项之和为1。 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和 。 3.最大项和最小项之间关系 三、逻辑函数的两种标准形式 1.逻辑函数的最小项表达式 Minister expression of logic function 利用A+A=1,可把任一
3、逻辑函数化为最小项之和的标准形式。2.逻辑函数的最大项之积形式 上面已经证明，任何一个逻辑函数皆可化为最小项之和的形式。同时，从 最小项的性质又知道全部最小项之和为1。由此可知，若给定逻辑函数 为Y=mi，则mi以外的那些最小项之和必为Y，即,故利用反演定理 可将上式变换为最大项乘积的形式例：Y=AB C+BC, Y=AB C+(A+A)BC=AB C +ABC+A BC=m3+m6+m7五五. .卡诺图化简逻辑函数卡诺图化简逻辑函数(Using Karnaugh map clear logic function(Using Karnaugh map clear logic function)
4、 )卡诺图化简逻辑函数时可按如下步骤卡诺图化简逻辑函数时可按如下步骤 将函数化简为最小项之和的形式将函数化简为最小项之和的形式( (或列出逻辑函数真值表或列出逻辑函数真值表) )； 画出表示该逻辑函数的卡诺图；画出表示该逻辑函数的卡诺图； 找出可以合并的最小项找出可以合并的最小项( (画圈画圈) )； 写出最简写出最简“与或与或”逻辑函数表达式。逻辑函数表达式。例2.2.3 用图形化简法对逻辑函数 F=m4(1,2,4,9,10,11,13,15)进行化简解：据化简步骤,因逻辑函数已表示成最小 项之和的形式，可以省去步骤。画出逻辑函数F的卡诺图。 画圈，将相邻“1”格圈起来，先圈单个“l”格，
5、再圈2个“l”格，4个“1”格 ,合并最小项写出最简“与或”逻辑函数表达式AB 00 01 11 10CD 00 01 11 10 01 1001 00 01 0110 111ADB C DB C DABC D“1 1”格允许被一个以上的圈所包围，这是因为格允许被一个以上的圈所包围，这是因为A+A=AA+A=A； “1 1”格不能漏画，否则简化后的逻辑表达式与原式不相等；格不能漏画，否则简化后的逻辑表达式与原式不相等； 圈的个数要尽量少，因为一个圈与一个圈的个数要尽量少，因为一个圈与一个“与与”项相对应，圈数越少项相对应，圈数越少 ，表达式中的，表达式中的“与与”项就越少；项就越少； 圈的面积
6、越大越好，但必为圈的面积越大越好，但必为2 2i i个方块。因为圈越大，消去的变量就个方块。因为圈越大，消去的变量就 越多；越多； 每个圈至少包含一个新的每个圈至少包含一个新的“1 1”格，否则这个圈是多余的。格，否则这个圈是多余的。“可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面要大，每圈必有可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面要大，每圈必有 一个新一个新1 1格格”画圈应注意的几个问题画圈应注意的几个问题画圈应注意的几个问题画圈应注意的几个问题“ “1 1” ”格允许被一个以上的圈所包围，这是因为格允许被一个以上的圈所包围，这是因为A+A=AA+A=A； “ “1 1” ”格不能漏画，否则简化后的逻辑表
7、达式与原式不相格不能漏画，否则简化后的逻辑表达式与原式不相 等；等； 圈的个数要尽量少，因为一个圈与一个圈的个数要尽量少，因为一个圈与一个“ “与与” ”项相对应，项相对应， 圈数越少，表达式中的圈数越少，表达式中的“ “与与” ”项就越少；项就越少； 圈的面积越大越好，但必为圈的面积越大越好，但必为2 2i i个方块。因为圈越大，消个方块。因为圈越大，消 去的变量就越多；去的变量就越多； 每个圈至少包含一个新的每个圈至少包含一个新的“ “1 1” ”格，否则这个圈是多余的格，否则这个圈是多余的 。 “ “可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面要大，每圈必有可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面要大，
8、每圈必有 一个新一个新 1 1 格格” ”具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简约束项：约束项：恒等于恒等于0 0的最小项叫做约束项的最小项叫做约束项 . . 任意项任意项 ：在输入变量的某些取值下函数值是：在输入变量的某些取值下函数值是1 1还是还是0 0皆可，并不影响电路皆可，并不影响电路 的功能。在这些变量取值下，其值等于的功能。在这些变量取值下，其值等于l l的那些最小项称为任意项。的那些最小项称为任意项。 在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于0 0，所以既可以把约，所以既可以把约 束项写进逻辑函数式中，也可以把约束
9、项从函数式中删掉，而不影响函束项写进逻辑函数式中，也可以把约束项从函数式中删掉，而不影响函 数值。同样，既可以把任意项写入函数式中，也可以不写进去，因为输数值。同样，既可以把任意项写入函数式中，也可以不写进去，因为输 入变量的取值使这些任意项为入变量的取值使这些任意项为l l时，函数值是时，函数值是l l还是还是0 0无所谓。无所谓。 逻辑函数式中的无关项：我们把约束项和任意项统称为逻辑函数式中的逻辑函数式中的无关项：我们把约束项和任意项统称为逻辑函数式中的 无关项。无关项。这里所说的无关是指是否把这些最小项写入逻辑函数式无关紧要，可这里所说的无关是指是否把这些最小项写入逻辑函数式无关紧要，可
10、 以写入也可以删除。以写入也可以删除。 无关项在化简逻辑函数中的应用无关项在化简逻辑函数中的应用 : :合并最小项时，究竟把卡诺图上的合并最小项时，究竟把卡诺图上的“” (” (或或)作为作为1(1(即认为函数即认为函数 式中包含了这个最小项式中包含了这个最小项) )，还是作为，还是作为0(0(即认为函数式中不包含这个最小即认为函数式中不包含这个最小 项项) )对待，应以得到的相邻最小项矩形组合最大、而且矩形组合数目最对待，应以得到的相邻最小项矩形组合最大、而且矩形组合数目最 少为原则。少为原则。AB00 01 11 10CD 00 01 11 10 010000 110ADAD(例2.2.4
11、) 化简具有约束的逻辑函数 Y=约束条件为=0A B C D+A B C D+ A B C DA BCD+A B C D+AB C D +A B C D+ABCD+ABC D+A B C D举例举例: :由真值表到表达式由真值表到表达式或与式或与式: : 该函数F的标准或与式是由那些使F0 的所有输入变量组合所对应的最大项相与而成的，即F(A，B，C) 或写成：F(A，B，C)M0M3M5M6 由上述两种标准式的组成可看出它们的实值跟真值表一样，就是要表明 哪些输入变量组合使函数F=1，哪些输入变量组合使函数F=0.A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0
12、 1 1 1 0 1 1 10 1 1 0 1 0 0 1 F函数F的真值表与或式与或式: : 该函数F的标准与或式是由那些使F=1 的所有输入变量组合所对应的最小项相或而成的， 即F(A，B，C) 或写成： F(A，B，C)m1+m2+m4+m7 A B C+ A B C+ A B C+ABC(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)A B C+ A B C+ A BC+A B C=将F=(0,2,3,6)用最大项之积来表示A B C+ A B C+ A BC+A B C=F=(1，4，5，7)A B C+ A B C+ A B C+ABC=（A+B+C） （A+B+C） （A
13、+B+C）（A+B+C）= M1M4M5M7= 3(1,4,5,7)这里“”表示逻辑“与”运算，M3表示三变量的最大项。由该例可知，一个以最小 项表示的逻辑函数F转换成以最大项表示的方法如下：先将F用最小项的形式表示，然 后取与最小项有相同下标的最大项进行逻辑“与”，即可得F的最大项表示形式.任何一个逻辑函数都可以用最大项之积来表示。下面用实例说明。 解：对对F两次求反，并利用基本公式得：卡诺图化简法：(例1)用卡诺图法求F1(A，B，C，D)=(0，2，4，7，8，10,12 ，13)的最简与或式。001011AB 00 0111 10CD 00 01 11 10 011111111图1-1
14、 F1的卡诺图F1=B D +C D +AB C+A BCD001011CD 00 0111 10AB 00 01 11 10 011111111图1-2 F1卡诺图的另一种表示(例2) 求F2(D，C，B，A)= (3，4，5， 7，9，13，14，15)的最简与或式。001011DC 00 0111 10BA 00 01 11 10 011111111图2-1 F2的卡诺图F2= D C B+D B A+DCB+D BA图3-1 F3的卡诺图F3=A C +C D+BC+AC001011AB 00 01 11 10CD 00 01 11 10 0111111 111 111图3-2 F3卡
15、诺图的另种画法F3=A C +A B+AD+AC001011AB 00 01 11 10CD 00 01 11 10 0111111111111(例3) 求F3(A，B，C，D)m(0，1 ，4，5，6，7，9，10，11，13，14， 15)的最简与或式。0010 11AB00 01 11 10CD 00 01 11 10 0000 00000(例4) 求F4(A，B，C，D)= (1,3,5,7,8,9,10,11)的最简或与式。注意：卡诺圈对应的是或项，写或项名称时见0写原变量，见1写反变量.解 F4的卡诺图及对0方格卡诺圈的画法如图所示。所得最简或与式：F4=(A+ D )( A +B)A+BA+D1图5-1 F5的卡诺图F5=AB+BC+ AD001011AB 00 01 11 100111111(例5)求F5(A，B，C，D)=m(1，3，4，7,13,14)+(2,5,12,15)的最简与或 式
