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1、第三章 几何向量解析几何是用代数的方法研究几何图形的几 何学. 中学学过平面解析几何，那是用代数方 法研究平面向何图形. 空间解析几何是用代数 方法研究空间几何图形，也是多元函数微积 分的基础.本章主要研究如下几个问题：1. 几何向量的线性运算；2. 几何向量的数量积（内积）、向量积（外 积）、混合积；3. 空间中的直线与平面.3.1 几何向量及其线性运算3.1.1 几何向量的概念现实生活中有这样的两种量：数量（标量 ），即仅有大小的量，如时间、长度、质量 、温度等. 向量（矢量）即不仅有大小而且还 有方向的量，如：力、速度、加速度、电场 强度等，仅知道力的大小，不了解它的方向 是不行的. 向
2、量是研究物理学及几何学不可缺 少的工具.1向量：有大小，又有方向的量称为向量. 用有向 线段 表示向量，长度 表示向量的大小，用简 头表示方向，称这样的向量为几何向量（简称向量 ），记 或2模：（长度）向量的大小，记作 且 3单位向量：模为1的向量、不同的方向上有不同 的单位向量 ， 40向量：模为0的向量注：0向量没有确定的方向或说方向任意.5负向量：与大小相等，方向相反. 6自由向量：（与起点无关）可以平行移动，（1 ）方向相同；（2）大小相等（模相等），我们研究 的都是自由向量. 所以任意两向量都共面. 3.1.2 几何向量的线性运算一、加法运算：（向量的加法，数乘向量） 1平行四边形法
3、规：设 ，则以 为邻 边的平行四边形 的对角线 称为 与 的和，记 .2三角形法则：（便于多个向量求和）. 将 的终点 与 的起点重合在一起.说明：若 在同一直线上，则其和如： (1). 当 与 方向同时，和向量的方向与原来两个向 量的方向相同. 其模=两模之和. (2). 当 与 方向相反时，和向量的方向与较长的向 量的方向相同，其模=两模之差.3多边形法则：几个向量之和，只要把它们相继地首 尾连接后，从第一个向量的起点到最后一个向量的 终点的向量，即为和向量， . 4运算法则：（1） ，交换律；（2） ,结合律；（3） ；（4） .5向量的减法：为平行四边形的另一对角线向量. 注意：不要把
4、向量与数混淆，实数是有序的，可比 大小，而向量式子 无意义，当然向量的长度可 比大小，根据三角形两边之和不小于第三边, 的长度满足三角不等式 .二、数乘向量： 为了描述向量的“伸缩”，定义实数与向量 的乘法.1定义： ，则 是一个向量 ，与 共线，模 与 同向， 时与 反向， .若 .2运算法则：（1） ； （2） ，（结合律）；（3） ； （4） ，（分配律）.3单位向量：表示与同向的单位向量. 4平行：，（共线）即可用同一个起点的有向线段来表示.注：与都没有意义.例1：在 内，设 ，试用 表示 .解： 的对角线互相平分，又 .ABCDY3.2 向量的数量积，向量积和 混合积3.2.1 向量
5、在轴上的投影刚才讨论的向量及运算只是在几何作 图，而这节的目的是用投影法得到向量 的坐标，即将向量与数对应起来，把向 量的代数运算转化为数量（坐标）的代 数运算，实际上是对向量及运算定量的 描述.2点的投影：若 为空间中一点， 为一轴，通 过 点作垂直于 轴的平面 ，则 与轴 的 交点 为在轴 上的投影（一个点）.1向量的夹角：设有 ，将 的起点放 在一起，它们所夹的角 称为向量的 夹角，记 .注：零向量与另一向量的夹角可以在0到 间任 意取值. 同样：向量与轴及轴与轴的夹角都是指它们的 正向间不超过 的夹角.3向量的投影：设有向量 , , 则 轴 上的有向线段 的值为 （数量， 向为 正数，
6、 向为负数） ， 称为向量 在轴 上的投影，记作 .定理3.1 向量 在轴 上的投影=向量的模乘以向 量与轴夹角的余弦，即： .证：过点引轴且同向，且有.当与成锐角时，投影为正；钝角时，投影为负； 直角时，投影为0.定理3.2 两个向量的和在某轴上的投影=投影之和. 即： . 此定理可推广： .3.2.2 几何向量的数量积（点积、内 积、标积） 物理背景：一物体在常力 的作用下，沿直线 运动产生的位移为 时，则力 所做的功是:抽去物理意义，就是 两个向量确定一个数的运算.1定义（数量积）， . 一个向量的模乘以另一个向量在这个向量上的 投影.2性质：（1） 规定 ；（2） ；交换律：（3） ；
7、分配律：（4） ；结合律：（5） 3注：（1）称为数量积是因结果是个数.（2） 并不见得 中必有 向量， 也可.（3） 无意义.（4）数量积不满足消去律即事实上，所以.例2：用向量的数量积，证明恒等式即平行四边形对角线的平方和=四边的平方和.证： 例3：用向量证明余弦定理证：在 中，例4：已知 与 的夹角为 ，且向 量 与 垂直，求 的值.解： . 即3.2.3 几何向量的向量积（叉积、外积 ）下面介绍向量与向量的另一种乘法。物理背景：由力学知，力 关于定点 的力矩是 一个向量 ，它的模=力的大小力臂，即：但是仅知力矩的大小，不了解它的方向，就不知道 物体如何转动，规定力矩的方向 且 与 构成
8、右手系，即右手四指从 方向握向的 方向时 ，大姆指的方向就是力矩的方向，（ 为转动轴） ，抽去物理意义，引出向量积的定义。1定义（向量积）向量 与 的向量积是一个 向量，记为 ，则它满足：（1） ；（2） 决定的平面 ；（3）依 的顺序成右手系； 记作：2几何意义： 都非零且不共线， 以 为邻边的平行四边形的面积.3性质：（1） ；（2） 或 或 )；（3）反交换律（反对称性）： （交换律 不成立）；（4）分配律： ；（5）结合律 ；例5：证明 证：由内积定义知 ，由外积定义知 ，两式相加有：例6：已知 ，且 ，求 证：利用上题结果有.3.2.4 三个向量的混合积1定义（混合积） 是个数值.
9、2几何意义： ， 设 不共面， ， ，当 为锐角时， 右手 系 ，当 为钝角时， 成左手系时， ， 以 为棱作一个平行六面体,体积为 ,.3三个向量共面 ， 又 且 ， 共面4性质：混合积具有轮换对称性.3.2.5 几何向量的坐标前面介绍的几何向量的加法，数乘，数量积，向量积及 混合积的计算,都是在几何作图，下面将这些运算 代数运算.一、空间直角坐标系1坐标系：在空间中任取一定点 ，过点 作三条相 互垂直的数轴 ，它们都以 为原点，且有相同的 长度单位，这就构成了一个空间直角坐标系，记为 为横轴， 为纵轴， 为竖轴. 习惯上 轴， 轴放水平 面上， 轴铅直向上，它们的正方向构成“右手系”， 即 的正方向符合“右手规则”.2点的坐标，设 为空间内一点， 分别是点 在轴 上的投影， 在轴 上的坐标依次为，称有序数组 为点 的坐标，且 ，记 .3坐标面：三条坐标轴中的任意两个确定一个坐标面 ， 面，三张坐标面互相垂直.4卦限：三个坐标面把整个空间分成八个区域，称为 八个卦限.5两点间的距离： . ， .二、向量的坐标1基本单位向量： 分别为 轴正向的单位向量 ，称为基本单位向量.其内积和外积满足： , 2向量的坐标：（1） .解：故 的坐标为 （2）若故 的坐标为三、向量的运算的坐标形式向量的加法：1 ；2 ；3 ；4.
