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1、6.2 点估计的评价标准 6.2.1 相合性我们知道，点估计是一个统计量，因此它是一个随机变量，在样本量一定的条件下，我们不可能 要求它完全等同于参数的真实取值。但如果我们 有足够的观测值，根据格里纹科定理，随着样本 量的不断增大，经验分布函数逼近真实分布函数 ，因此完全可以要求估计量随着样本量的不断增 大而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如 下。 定义6.2.1 设 为未知参数，是 的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一个0，有则称 为 参数的相合估计。 相合性被认为是对估计的一个最基本要求, 如果一个估计量, 在样本量不断增大时，它都不 能把被估参数估计到任意指定的精度, 那么这 个
2、估计是很值得怀疑的。 通常, 不满足相合 性要求的估计一般不予考虑。证明估计的相合 性一般可应用大数定律或直接由定义来证.若把依赖于样本量n的估计量 看作一个随机变量序列,相合性就是 依概率收敛于 ,所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质及各种大数定律。在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。定理6.2.1 设 是 的一个估计量， 若则 是 的相合估计，定理6.2.2 若 分别是 1, , k 的相合 估计， =g( 1 , , k) 是 1, , k 的连续函数，则 是 的相合估计。例6.2.2 设 x1, x2 , , xn 是来自均匀总体U(0, )的样本 ，证明 的极大似然估计
3、是相合估计。 证明：在例6.1.7中我们已经给出 的极大似然估计是 x(n)。由次序统计量的分布，我们知道 x(n) 的分布密度 函数为 p(y)=nyn-1/ n, y 1时， 比 有效。6.2.4 均方误差 无偏估计不一定比有偏估计更优。评价一个点估计的好坏一般可以用：点估计值 与参 数真值 的距离平方的期望，这就是下式给出的均方 误差均方误差是评价点估计的最一般的标准。我们希望 估计的均方误差越小越好。 下面的例子说明：在均方误差的含义下有些有偏估计优于无偏估计。 例6.2.8 对均匀总体U(0, )，由 的极大似然估计得到的无偏估计是 ，它的均方误差 现我们考虑的形如 的估计，其均方差
4、为 用求导的方法不难求出当 时上述均方误差达到最小，且其均方误差 所以在均方误差的标准下，有偏估计 优于无偏估计 。 本节习题6. 一批产品中含有废品，从其中随机抽取75件，发 现有废品10件，试估计这批产品的废品率。(极大似然估计)7. 设总体密度函数如下, 是样 本,试求未知参数的矩估计和极大似然估计. 9. 设 是来自均匀总体 的 一个样本.验证 都 是的无偏估计;(2) 比较上述三个估计的有效性.10.设 是来自正态总体 的一个样本,对 考虑三个估计问哪一个均方误差最小?11. 设 是来自密度函数为的样本,求 的最大似然估计 ,它是否是相合估计? 它是否是无偏估计?求 的矩估计 ,它是否是相合估计?它是否是 无偏估计?考虑的形如 的估计,求使得 的均方 误差达到最小 的 ,并将之与 , 的均方误 差进行比较.
