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1、第二章第二章 随机变量习题课随机变量习题课内容小结内容小结典例分析典例分析综合练习综合练习作业点评作业点评离散型r.v 的分布律连续型r.v的 概率密度分布函数 的性质分布律 与分布函数的关系概率密度 与分布函数 的关系r.v及其概率分布二项分布 泊松分布正态分布 指数分布 均匀分布一、内容小结一、内容小结1. 重点概念: 随机变量, 分布函数,分布律(离散型),概率密度函数(连续型)。2. 重点公式:B. 分布函数与概率密度函数之间的转化(连续型)A. 分布律、概率密度函数的性质：C . 联合分布 边缘分布离散型 :D. 边缘分布+独立性 联合分布 X,YX,Y连续型且相互独立连续型且相互独
2、立, , 则：则：X,YX,Y离散型且相互独立离散型且相互独立, , 则：则：A. 利用分布函数及概率密度函数的性质解题.B. 利用概率密度函数计算概率, 随机变量X(或(X,Y)落在某区间I(或某区 域 G)的概率为3. 3. 主要方法主要方法C. . 求随机变量的函数的分布,先求分布函数,再求导，求概率密度函数.X 连续型, y=g(x)为连续函数，则Y= g(X)为连续型(X,Y)连续型, z=g(x,y)为二元连续函数, 则Z=g(X,Y)为连续型4. 4. 常见的重要分布常见的重要分布 A . 二项分布, X服从b(n,p) B. Poisson分布, X服从()C.C. 均匀分布均
3、匀分布D. D. 指数分布指数分布E. E. 正态分布正态分布F. F. 二维正态分布二维正态分布课本P70,T5 (2)(2)设r.vX的分布律为试确定常数b；解：二、作业点评错解：再对上式取极限得：P70T6(2)(2)设随机变量的分布律为解：错解：注：如果X是连续型随机变量，则12345P71T8 有甲,乙两种味道的酒各4杯,颜色相同。从 中挑4杯便能将甲 种酒全部挑出，算是试验成功.(1)某人随机地去挑,问他试验成功的概率.(2)某人通过品尝区分两种酒,他连续试验10次,结果成功3次,问此人是否确有品尝区分的能力. 解: (1)所求概率为:1/ =1/70(2)假设此人无品尝区分的能力
4、,记X为10次试验中成功次数 Xb(10,1/70) 显然X=3是一小概率事件,根据小概率事件几乎不可能发生原 理,可以认为原假设不对,故此人有一定品尝区分能力.解法一： （1） 由于连续型随机变量X的分布函数是连续的（2）求 : (1)常数 A (2)概率密度函数 (3)P72,T16 设连续型r.vX的分布函数为 以下同解法一 解法二：(3)或知道分布函数，求落在 某区间的概率，没有必 要对概率密度积分了， 因为这样麻烦，直接用 分布函数即可.P72,T17 已知r.vX的概率密度为:求其分布函数F(x) 解: yx12 0P72T20 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X服从指数分布,
5、其概率密度为某顾客的习惯是,等待时间超过10分钟便离开.现知他一个月要到银行5次,求他未受到服务的次数不少于1的概率. 分析: 顾客一个月内未受到服务的次数为Y， 要求的是PY1；“未受到服务”的事件A为X10；P65T25,28,31 盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球.在其中任取4 只球,以X表 示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.解: (1) Y X 0 1 2 30 0 0 3/35 2/351 0 6/35 12/35 2/352 1/35 6/35 3/35 0 (1)求X,Y的联合分布律 (2)求(X,Y)的边缘分布律(3)X,Y是否相互独立. (2) X 0 1 2
6、31/35 12/35 18/35 4/35Y 0 1 21/7 4/7 2/7(3) PX=2,Y=1=12/35 PX=2=18/35 PY=1=4/7PX=2PY=1=72/245 12/35=84/245 X与Y不相互独立. P74T30 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(1)求边缘概率密度 (2)X,Y是否相互独立.解 ：这样做对吗 ？11-1为确定积分限,先画出被积函数不为0的区域 积分变量y的取值范围与x有关，讨论x固 定 x 后 对 y 求 积 分 !注 意 取 值 范 围注意积分限同理显然 X与Y不是相互独立的.11-1P72,T26 设r.v（X，Y）的概率密度为求(1
7、)常数k；(2)分布函数。解：(1)由概率密度函数的性质(2)解：注：当我们对概率密度函数积分求分布函数时，一定要全面考虑被积函数的定义域。如上题，有的同学只考虑x0,y0与x0 时 FY(y)=PX lny=(lny)分析：一维连续型r.v函数的分布，分布函数法。解: 由X,Y相互独立, 易得(X,Y) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)Pij 1/6 1/3 1/8 1/4 1/24 1/12X+Y 0 1 1 2 2 3 P67T45 X,Y相互独立, 求X+Y的分布律X 0 1 2 Y 0 1Pk 1/2 3/8 1/8 Pk 1/3 2/3X+Y
8、0 1 2 3Pk 1/6 11/24 7/24 1/12解: (X,Y)的联合概率密度函数P76T51 设X,Y为相互独立的随机变量,它们都服从 分布.证明 的概率密度为极坐标变换P75T46设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度为其中0, 0 为常数，求X+Y的概率密度解 :Z=X+Y的概率密度被积函数的非零区域为积分得：G当 z0时若求 Z=X-Y的概率密度f(x,x-z)的非零区域为当 z0时当 z m如果用来讨论m，结 果m=3,正确吗？(3)设随机变量X的分布律为解：注：不能说因为X服从泊松分布，所以课本P70,T5, (3)T32、设（X,Y）分布律为 分析：先求边缘分布律问:取何值时，X，Y相互独立？12XY1 2 312XY1 2 3由X，Y独立性得：
