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1、Elements of Modern Control Theory主讲：董霞主讲：董霞现代控制理论基础现代控制理论基础西安交通大学机械工程学院西安交通大学机械工程学院1控制系统的控制系统的稳定性稳定性分析是系统分析的重要组成部分。系统稳 定是控制系统正常工作的分析是系统分析的重要组成部分。系统稳 定是控制系统正常工作的前提条件前提条件。第四章 控制系统的李亚普诺夫稳定性分析第四章 控制系统的李亚普诺夫稳定性分析对单输入单输出的线性定常系统，以传递函数或频率特性为 其数学模型，采用对单输入单输出的线性定常系统，以传递函数或频率特性为 其数学模型，采用劳斯胡尔维茨（Routh-Hurwitz）判据
2、劳斯胡尔维茨（Routh-Hurwitz）判据和和乃 奎斯特（Nyquist）判据乃 奎斯特（Nyquist）判据等来判别系统的稳定性是比较简便的。等来判别系统的稳定性是比较简便的。对于多变量系统，特别是时变系统和非线性系统，以状态空间 表达式为数学模型，分析其稳定性采用的方法是对于多变量系统，特别是时变系统和非线性系统，以状态空间 表达式为数学模型，分析其稳定性采用的方法是李亚普诺夫 （A.M. Lyapunov）提出的稳定性理论李亚普诺夫 （A.M. Lyapunov）提出的稳定性理论。2本章主要内容本章主要内容4.14.1 引言引言4.24.2 李亚普诺夫意义下的稳定性李亚普诺夫意义下的
3、稳定性4.34.3 判别系统稳定的李亚普诺夫方法判别系统稳定的李亚普诺夫方法4.4 4.4 线性系统的Lyapunov稳定性分析线性系统的Lyapunov稳定性分析34.1 4.1 引言引言对于线性定常SISO系统，其稳定性分析可以通过经典控制理 论的Routh-Hurwitz判据和Nyquist判据来解决。对于线性定常SISO系统，其稳定性分析可以通过经典控制理 论的Routh-Hurwitz判据和Nyquist判据来解决。在航空、航天以及其它科技领域发展中，控制系统日益向非线 性、时变、MIMO系统延伸，其稳定性分析无法利用经典控制理论 解决，于是李亚普诺夫稳定性分析理论诞生。在航空、航天
4、以及其它科技领域发展中，控制系统日益向非线 性、时变、MIMO系统延伸，其稳定性分析无法利用经典控制理论 解决，于是李亚普诺夫稳定性分析理论诞生。1892年，李亚普诺夫发表了运动稳定性一般问题论文， 建立了运动稳定性的一般理论和方法1892年，李亚普诺夫发表了运动稳定性一般问题论文， 建立了运动稳定性的一般理论和方法。他把稳定性分析方法归纳为两种:他把稳定性分析方法归纳为两种:4一种是通过求出微分方程的解来分析系统的稳定性，是一 种一种是通过求出微分方程的解来分析系统的稳定性，是一 种间接方法间接方法，由于求解非线性时变微分方程的解是非常困难 甚至不可能的，因而此方法的应用受到一定限制。，由于
5、求解非线性时变微分方程的解是非常困难 甚至不可能的，因而此方法的应用受到一定限制。由于李亚普诺夫第二法可以避开求解微分方程的困难，因而 更具重要性。由于李亚普诺夫第二法可以避开求解微分方程的困难，因而 更具重要性。另一种是不需要求解微分方程而给出系统稳定性的信息， 是一种另一种是不需要求解微分方程而给出系统稳定性的信息， 是一种直接方法直接方法。它根据系统在其平衡状态渐近稳定时，其 能量必将随时间的增长而衰减，直至达到平衡状态而使能量 趋于最小值的原理，只要找到这样的能量函数（李亚普诺夫 函数）即可判断系统的稳定性。它根据系统在其平衡状态渐近稳定时，其 能量必将随时间的增长而衰减，直至达到平衡
6、状态而使能量 趋于最小值的原理，只要找到这样的能量函数（李亚普诺夫 函数）即可判断系统的稳定性。5现以一机械系统为例来说明李亚普诺夫第二法：式中, 为质量， 为阻尼系数， 为弹簧刚度，为位移。现以一机械系统为例来说明李亚普诺夫第二法：式中, 为质量， 为阻尼系数， 为弹簧刚度，为位移。mB( ) tx如图所示弹簧-质量-阻尼系统，在没有外加 控制作用时，其运动微分方程如下：如图所示弹簧-质量-阻尼系统，在没有外加 控制作用时，其运动微分方程如下：0?mx+ Bx+ kx = 弹簧质量阻尼系统kBm( )x tk选取状态变量，则系统的状态方程为选取状态变量，则系统的状态方程为121,xx xx=
7、 ?12212xxkBxxxmm= ?6这就意味着，系统除了在，即时，总能量 等于零外，其它时，能量总是大于零。这就意味着，系统除了在，即时，总能量 等于零外，其它时，能量总是大于零。而系统总能量的变化率而系统总能量的变化率系统的总能量方程为系统的总能量方程为22 121211( ,)22E x xkxmx=+显然，当时，总有；只有当时，才有显然，当时，总有；只有当时，才有0x( )0E x 0=x( )0E x =0=x120,0xx= 0x121 122122122 2( ,)E x xkx xmx xkBkx xmxxxmmBx=+=+ = ?7上式表明系统总能量的变化率除了在外，总是负
8、的， 即系统总能量是衰减的，因而系统是稳定的。上式表明系统总能量的变化率除了在外，总是负的， 即系统总能量是衰减的，因而系统是稳定的。当李亚普诺夫函数不显含时间t时，也记作当李亚普诺夫函数不显含时间t时，也记作通过系统总能量确定系统稳定性的方法具有普遍意义，但一 般控制系统的能量并不具有这样的直观性，因而李亚普诺夫构 造了通过系统总能量确定系统稳定性的方法具有普遍意义，但一 般控制系统的能量并不具有这样的直观性，因而李亚普诺夫构 造了所谓的所谓的广义能量函数广义能量函数（称为（称为李亚普诺夫函数李亚普诺夫函数），记作），记作所以李亚普诺夫第二法通过研究及其随时间的变化 率的定号性就可以给出系统
9、稳定性的信息。所以李亚普诺夫第二法通过研究及其随时间的变化 率的定号性就可以给出系统稳定性的信息。20x =() tV x,( )V x()( )t 或V x,V x ()( )t?或V x,V x8由于李亚普诺夫是研究系统在平衡状态的稳定性的，下面首 先给出平衡状态的定义。由于李亚普诺夫是研究系统在平衡状态的稳定性的，下面首 先给出平衡状态的定义。4.2李亚普诺夫意义下的稳定性李亚普诺夫意义下的稳定性一般地，设系统的状态方程为一般地，设系统的状态方程为( , )x t=? xf（4-1）（4-1）在式（4-1）所描述的系统中，如果对于所有的在式（4-1）所描述的系统中，如果对于所有的t t，
10、总存在着，总存在着 (, )0ex t =f则称为系统的则称为系统的平衡状态平衡状态。ex（4-4）若系统为线性定常系统，即：，则当（4-4）若系统为线性定常系统，即：，则当A A为非奇异阵时， 系统中只存在一个平衡状态；若为奇异阵，则系统可以有无穷 多个平衡状态。为非奇异阵时， 系统中只存在一个平衡状态；若为奇异阵，则系统可以有无穷 多个平衡状态。( , )x t =fAx当时，其初始状态为当时，其初始状态为0tt= 00( )t tx tx=9对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态。平衡状态对应于 式（4-4）的常数解，与系统微分方程式（4-1）的解无关。对于非线性系统，可有一个或多个平衡
11、状态。平衡状态对应于 式（4-4）的常数解，与系统微分方程式（4-1）的解无关。例4-1 设系统的状态方程为：例4-1 设系统的状态方程为：1 3 12212xxxxxx= =+? ?求其平衡状态。求其平衡状态。解：由式（4-4）得解：由式（4-4）得1 3 1220 0x xxx= +=因此系统有三个孤立的平衡状态因此系统有三个孤立的平衡状态100 = ex01 = e2x01=e3x10任意一个孤立的平衡状态都可通过坐标变换移到状态空间的坐标原点处，即。研究系统的稳定性，就是任意一个孤立的平衡状态都可通过坐标变换移到状态空间的坐标原点处，即。研究系统的稳定性，就是研究平衡状态的稳定性，研究
12、平衡状态的稳定性，以后所讨论的稳定性都是以后所讨论的稳定性都是在坐标原点处的平衡状态稳定性。在坐标原点处的平衡状态稳定性。(, )(0, )0ex tt=ff0,ex =11稳定稳定下面再来讨论李亚普诺夫意义下的稳定性下面再来讨论李亚普诺夫意义下的稳定性如果对于任意选定的实数，都存在另一实 数，使得当时，随着，恒 有，则称系统的平衡状态是在如果对于任意选定的实数，都存在另一实 数，使得当时，随着，恒 有，则称系统的平衡状态是在李亚普诺夫意义 下的稳定李亚普诺夫意义 下的稳定，如图4-1（a）所示。如果与初始时刻无 关，即，则称平衡状态为，如图4-1（a）所示。如果与初始时刻无 关，即，则称平衡
13、状态为一致稳定的平衡状 态一致稳定的平衡状 态。00( , )0t )0t (exx t ( ) texxex0( , )t 0t0( , )( )t= ex12上述定义中，与为上述定义中，与为欧几里德范数欧几里德范数，分别表示 为：，分别表示 为：该定义可以这样理解：若系统的初始状态包含在以为圆心、 半径为的球域内，则由初始状态引起的状态轨迹， 在的所有时间内都不脱离另一个以为圆心、半径为的 球域。该定义可以这样理解：若系统的初始状态包含在以为圆心、 半径为的球域内，则由初始状态引起的状态轨迹， 在的所有时间内都不脱离另一个以为圆心、半径为的 球域。( ) t exx0( )texx1/22
14、22 1122( )()().()eennetxxxxxx=+exx1/2222 01012020( )()().()eennetxxxxxx=+exxex( )s( ) tx0ttex( )s显然，李亚普诺夫意义下的稳定和经典控制理论中所说的稳定 是不相同的。李亚普诺夫意义下的稳定在工程上是不能应用的显然，李亚普诺夫意义下的稳定和经典控制理论中所说的稳定 是不相同的。李亚普诺夫意义下的稳定在工程上是不能应用的。13渐近稳定性渐近稳定性渐近稳定渐近稳定若系统的平衡状态在李亚普诺夫意义下是稳定的，并且 当时，由初始状态引起的状态轨迹收敛于，即则称系统的平衡状态为李亚普诺夫意义下的渐近稳定，如图
15、4-1（b）所示。若系统的平衡状态在李亚普诺夫意义下是稳定的，并且 当时，由初始状态引起的状态轨迹收敛于，即则称系统的平衡状态为李亚普诺夫意义下的渐近稳定，如图 4-1（b）所示。ext ( ) txex( )0t exx14上述的渐近稳定性是系统的一个局部稳定性的概念，简单地 确定了系统的渐近稳定性并不意味着系统能正常工作，而有必 要上述的渐近稳定性是系统的一个局部稳定性的概念，简单地 确定了系统的渐近稳定性并不意味着系统能正常工作，而有必 要确定渐近稳定性的最大范围确定渐近稳定性的最大范围，该最大范围称为，该最大范围称为吸引域吸引域，发生 于吸引域内的每一条状态轨迹都是渐近稳定的。，发生
16、于吸引域内的每一条状态轨迹都是渐近稳定的。15大范围渐近稳定性大范围渐近稳定性若系统的平衡状态是渐近稳定的，并且其吸引域包括整个 状态空间，则系统的平衡状态是若系统的平衡状态是渐近稳定的，并且其吸引域包括整个 状态空间，则系统的平衡状态是大范围渐近稳定大范围渐近稳定的，或称的，或称全 局渐近稳定全 局渐近稳定，如图4-1（c）所示。显然，系统在大范围内渐近 稳定的必要条件是系统在整个状态空间只有一个平衡状态。对 于线性系统，若系统的是渐近稳定的，则一定是大范围渐近 稳定的。，如图4-1（c）所示。显然，系统在大范围内渐近 稳定的必要条件是系统在整个状态空间只有一个平衡状态。对 于线性系统，若系统的是渐近稳定的，则一定是大范围渐近 稳定的。exexex大范围渐近稳定大范围渐近稳定16大范围渐近稳定大范围渐近稳定即经典控制论中
