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1、一材数学教学年第期数学史在“扇形面积,教学中的运用上海外国语大学西外外国语学校王翎全口制义务教育数学课程标准在教学建议”中指出“在教学活动中,教师要创造性地使用教材,积极开发、利用各种教学资源,为学生提供丰富多彩的学习素材”数学史是数学教学的重要资源,数学史上的有关问题则是学生良好的学习素材但数学史料的选取应符合学生的认知发展水平,满足相关知识点的教学要求、并体现新课程的理念本文利用数学史上的有关资料,给出扇形面积, ,的一种教学设计“弧长与扇形的面积, ,这个知识点在初中数学新课程中是作为“圆中的计算问题, ,出现的作为圆面的一部分,扇形在历史上很早就被人们所认识在大英博物馆所藏古巴比伦时期
2、 公元前年一公元前年的数学泥版上,可以看到许多求圆弧或圆弧与线段所围的一些有趣图形的面积问题,如图图所示这些问题很可能是当时的数学练习题在图朴,希波克拉底发现,大圆内接正六边形相邻三边上的半圆与大圆所围成的三个弓月形连同其中一个小半圆的面积与等腰梯形 面积相等阿基米德,公元前一公元前也研究过若干半圆所围成的有趣图形如图,大半圆直径上的一点将直径分成两段,在每一段上作半圆,则三个半圆所 围成的图形日 “鞋匠刀形”如图,将大半圆直径分成三段 其中左右两段相等,在左右两段上分别作半圆与大半圆同侧,在中间一段上作半圆与大半圆异侧,则四个半圆所围成的图形叫“盐瓶形”叫目曰阅户卜图鞋匠刀形钾州旧即脚脚卜图
3、盐瓶形图风筝图双 弓图凹四边形古希腊数学家希波克拉底,前世纪研究化圆为方问题时,求得了某些特殊的弓月形的面积,与扇形面积密切相关在图中,希波克拉底发现,等腰直角三角形斜边上的半圆与以直角顶点为圆心、直角边为半径的四分之一圆弧所围成的 弓月形面积与等腰直角三角形的面积相等文艺复兴时期,意大利艺术大师达芬奇,一研究过圆弧所围成的许多图形的面积问题如图,达芬奇用出入相补的方法求得两段四分之一圆弧与一段半圆所围成的图形的面积图弓月形图弓月形与等腰梯形图圆弧所围图形的而积 达芬奇的求法在达芬奇的笔记本里。我们还看到图所示的“猫眼”图通过移动,容易发现阴影部分实际上就是两个希波克拉底弓月形,故其面积等于外
4、切正方形面积之半图意大利人曾将其用于课堂教学年第期数学教学一不图达芬奇的“猫眼”图猫眼图的变形早期历史上,人们研究的扇形大多是圆心角为、和的特殊扇形,其面积和圆面积之间有简单的比例关系从这些特殊的比例关系中,人们想到圆心角为。“的一般扇形面积公式可以用 圆心角的度数来表达,即 燕二尸,其中为扇形的半径但对于用弧长、“切犷一,一,一研,切,来表达的公式,几何上的推导方法是与圆面积公式的推导方法一致的,世纪德国数学家和天文学家开普勒,一的直观但并不严密 方法可以用于今天的课堂教学教师首先讲述公元前世纪古希腊数学家埃拉托色尼,公元前一公元前测量地球的故事在这个故事中,埃拉托色 尼测得 了地球大圆的圆
5、心角为周角的鑫时,一,咨“、一“一一一一“”一” 所对弧长为个单位 那么,如何求出地球 大圆的周长呢从而突出“主题之必要性”,创造学习动机接下来,教师介绍如何求弧长在圆内取一些特殊的圆心角如图所示,让学生思考它们所对的弧长分别是圆周长的几分之几然后引导学生发现 圆心角为“和。“时的弧长长为,高为的三角形面积相等之后,教师告诉学生,在世纪,有一个名叫开普勒的德国天文学家和数学家,他给出了一种直观 的推导方法如图所示,如果我们把圆看作由无数个顶点为圆心、底边为很短很短的圆弧的三角形组成,把这些三角形变形为等底等高 高为半径的三角形,并把创门拼在一起,得到直角三角形,其中直角边的长度 等于圆周长,因
6、、 匕,圆面积为尝一二,、目一“护一一一一”“应地,圆内一个扇形也 由无数三角形组成,等积变形后对应于直角三角形内的三角形,其中底边的长度等于扇形的弧长 故其面积为一喜,二图圆心角为特殊角的扇形接着,引入扇形概念,让学生思考与上述各圆心角所对应的扇形 图中各阴影部分图形,其面积分别是圆面积的几分之几引导他们发现圆心角为“的扇形面积,并结合弧长公式,得出扇形面积与弧长之间的关系妥,其中一刁 心一”一”一一”一一表示 弧长这个公式表 明 扇形面积与一个底边图扇形面积 开普勒的方法在推导扇形面积后,教师让学生小组合作,解决如下扇形面积问题问题公元前世纪,古希腊数学家阿基米德研究过被称为“盐瓶形”的图
7、形 图,这个图形是由四个半圆所围成的已知最大的半圆直径为,两边小半圆的直径均为,你能求出盐瓶形的面积吗问题古代巴比伦泥版上的几何图形 如图、图和图,巴比伦人分别称它们为“风筝”、“双 弓”和“凹 四边形”已知 图中的小正方形边长为,试求出它们的面积问题文艺复兴时期的艺术大师达芬奇曾经研究过 叫做“猫眼”的图形图已知圆的半径为,你能求出图中阴影部分的面积吗本教学设计包含浓郁的历史文化气息,体现数学是人类的一种文化,让学生体会数学的悠久历史,数学与人类文明的密切相关性 利用背景知识以及古人的问题情境,激发学生的好奇心与学习兴趣,促进 自主学习由此可见,数学史为中学数学教学的设计提供了一个新视角,这
8、种视角下的数学教学能较好地贯彻新课程的思想和理念,完成或达到新课程的目标和要求下转第一页一夕数学救学年第期根据题意总有一个最小界值护,利用变化中数列项的界值控制公差的变化,即有护成一方法事实上,该问题中的、夸是独立的两变量,相互间并无制约关系,因此循着丙的思路落“,任一一的最小值分离参数一夕 来求卿一沪最大值,苦曰为护一“投机取巧”孔 冬共即竺生 竺子上三了一乙啊,即求鬓一蚤的最大值丫六、选择变量例对于满足尸毛的所有实数尸,不等 式呈尸尸恒成立,求实数的取值范围盲点用换元转化处理不等式,设亡,沙尸尸,尸任一,在处理字母亡与尸变化关系时,学生习惯于不假思索地将艺选择为变量,运用二次函数探寻关系,
9、由于变元的选择失策,使问题反而复杂化方法若将尸选择为变量,整个变化关系可通过一次函数来描述,使量的关系更加简洁有效 由题意得。一尸护一亡一成尸成,令亡一艺一亡,由题意小,鬓任任【,设亡二任【,当艺时,亡一亡取到最大值一一一,一。、借助图形静化变量已知无任,方程组 夕峨一。,一夕一八例了少、恒有两解,求的范围一卜,一一卜一,得亡一或,即二,合。,少、 气得七、摆脱束缚放纵变量例三位同学合作学习,对问题“已知不等式,毛对于任【,任【,恒成立,求的取值范围”提出了各 自的解题思路甲说“可视为变量,军为常量来分析”,乙说“寻找与夕的关系,再作分析”,丙说“把字母单独放在一边,再作分析”,参考上述思路,
10、或自己的其它方法,可求出实数的取值范围是盲点甲与乙比较典型地代表学生在这道题中处理方式,因为纠缠于、,关系,在处理过程中等价转换不易实现,增加了解题的难度盲点在对这个方程组的研究过程中,学生习惯性地将注意力放在对、军一组变量关系的探询中,经过消元,却发现由于、的介入,增加了问题的探求难度方法 在代数方程或不等式处理过程中,尤其是字母量很多时,可以将一些抽象的、变化的字母关系通过具体的、静态的图形体现,此题中的趴夕的关系是一“夕一二一以,为圆心,、八万为半径的定圆。双一今书过定点。,斜率为的直线据题意无任,两图形恒有两交点专今点,在圆内 部一。一一,解得。任一,上接第一页参考文献【,汪晓勤、韩祥临中学数学中的数学史科学出版社,场、喃一
