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1、第一章 有理数1.1 正数和负数正数和负数的概念像 3， 2，1.8 这样大于0 的数叫做正数根据需要有时在正数前面加上正号“+” ，例如： +2,+3,+0.3,+1/7,. 正数前面的正号 “+” ，一般省略不写。像 -3,-2,-2.7这样在正数前面叫上负号“- ”的数叫做负数负数前面的负号不能省略。一个数前面的“+” “- ”叫做它的符号， “- ”读作“负” ，如“ -3”读作“负三” ， “+”读作“正”，如“ +2008”读作“正二千零八”注意： 字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；当a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表示 0 时， -a 仍是 0。
2、（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法 是错误的 ，例如 +a,-a 就不能做出简单判断）正数有时也可以在前面加“+” ，有时“ +”省略不写。所以省略“ +”的正数的符号是正号。2. 具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上 8表示为： +8零下 8表示为： -8 常见的表示具有相反意义的量有：零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面一下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、升高和下降。3.0 表示的意义0 表示“没有”，如教室里有0 个人，就是说教室里没有人；0 是正数和负数的分界线，0 既不是正数，也不是负数。如
3、：水位上升5m时水位变化记作+5m ，水位下降3m时水位变化记作-3m，0m表示水位不升不降。1.2 有理数1.2.1有理数1. 有理数的概念正整数、 0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数）正分数和负分数统称为分数正整数， 0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。（ 理解：只有能化成分数的数才是有理数。是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。）注意：引入负数以后， 奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8, 也是偶数，-1,-3,-5,也是奇数。2. 有理数的分类按有理数的意义分类按正、负来
4、分正整数正整数整数 0 正有理数负整数正分数有理数有理数 0 （ 0 不能忽视 ）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）负整数、 0统称为非正整数正有理数、 0 统称为非负有理数负有理数、 0 统称为非正有理数1.2.2数轴数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可； 同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是根据实际需要规定的。2. 数轴的画法步骤：画一条直线；在直线上任意选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下边标上“0” ） ；确定正方向（通常取
5、向右方向为正方向），用箭头表示出来；选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1,2,3 ，, ；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示-1,-2,-3,3. 数轴上的点与有理数的关系-3 -2 -1 0 1 2 3所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0 用原点表示。所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点不是有理数）4. 利用数轴表示两数大小在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；正数都大于0，负数都
6、小于0，正数大于负数；两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。5. 数轴上特殊的最大（小）数最小的自然数是0，无最大的自然数；最小的正整数是1，无最大的正整数；最大的负整数是-1，无最小的负整数6.a 可以表示什么数a0 表示 a 是正数；反之，a 是正数，则a0；a0 时， -a0 （ 负数的相反数是正数）当 a=0 时， -a=0 ， （0 的相反数是0）相反数的表示方法有如下规律：a 的相反数是 -a ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是 -a-b 。说明 ：任何有理数都有唯一的相反数6. 多重符号的化简多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略
7、；“- ”号的个数决定最后化简结果；即：“- ”的个数是奇数时，结果为负，“- ”的个数是偶数时，结果为正。1.2.4绝对值绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数a 的点与原点的 距离 叫做 a 的绝对值，记作|a| 。如：在数轴上表示+5的点与原点距离是5，即 +5 的绝对值是5, 记作 |+5|=5 ；在数轴上表示 -5 的点与原点的距离是5，即 -5 的绝对值是5，记作 |-5|=5；表示 0 的点与原点的距离是0, 记作 |0|=0 。说明：绝对值为5 的数是 +5或 -5 ，即 |a|=5 ，则 a=5 或 a=-5 2. 绝对值的代数定义一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它
8、的相反数；0 的绝对值是0.可用字母表示为：如果 a0| ，那么 |a|=a ；如果 a0） a（a0） a（a0）即|a|= 0（a=0）或 |a|= 或|a|= -a（a |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。 ）a0， |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。 ）3. 绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性 。所以，a 取任何有理数，都有 |a| 0。即0 的绝对值是0；绝对值是0 的数是 0. 即： a=0 |a|=0；一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0. 即： |a| 0；任何数的
9、绝对值都不小于原数。即：|a| a；绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a （a0） ，则 x=a；互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若 a+b=0，则 |a|=|b|；绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则 a=b 或 a=-b ；若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即 |a|+|b|=0，则 a=0 且 b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）4. 有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小
10、，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。5. 绝对值的化简依据绝对值定义当 a 0时， |a|=a ；当 a0 时， |a|=-a 零点法令绝对值符号内的式子为0，求得字母的值，从而将数轴分为两部分，在每一部分上再进行化简。例如：化简 |x-3| 第一步，取0 点，令 x-3=0 ，得 x=3；第二步，取范围，x3 和 x3；或 x3 时， x-30 ，|x-3|=x-3。6. 已知一个数的绝对值，求这个数一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离，一般地， 绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0 的数是 0，没有绝对值为负数的数。7. 利用绝对
11、值来确定整数利用绝对值来确定整数时，先由绝对值的意义在数轴上找出数的范围，再 确定这个范围内的整数。1.3 有理数的加减法1.3.1有理数的加法1. 有理数的 加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为零；一个数与零相加，仍得这个数。注意：在进行加法运算时，首先判断两个加数的符号，是同号就用法则一；是异号就用法则二或法则三；是否有0，有 0 就用法则四。在应用过程中，一定要牢记“先符号，后绝对值” 。2. 有理数加法的运算律加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b
12、)+c=a+(b+c) 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法” ；符号相同的两个数先相加“同号结合法 ” ；分母相同的数先相加“同分母结合法” ；几个数相加得到整数，先相加“凑整法 ” ；整数与整数、小数与小数相加“同形结合法 ” 。3. 加法性质一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0 后的和等于原数。即：当 b0 时， a+ba 当 b0 时， a+ba 当 b=0 时， a+b=a 1.3.2有理数的减法1. 有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。注意
13、：进行减法运算时，首先要弄清减数的符号 是“ +”还是“ - ” 。将有理数减法转化为加法时，要同时改变两个符：一是运算符号 由“ -”号变成“ +”号；另一个是 减数的性质符号（即减数变成它的相反数）。如 3-(+5) 转化成加法后写成3+(-5) 有理数的减法中被减数和减数不能互换，减法没有交换律和结合律， 只有转化为加法以后，才能使用加法的运算律进行计算。2. 有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6
14、)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法：按这个式子表示的意义读作“负8、负 7、负 6、正 5 的和”按运算意义读作“负8 减 7 减 6 加 5”注意：把几个有理数的和或差写成省略加号和括号的和的形式时，第一步要根据减法法则把减法转化成为加法，第二步才能省略加号和括号。3. 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：. 把符号相同的加数相结合（同号结合法）(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 原式 =-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法）=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号）=(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合）=-49+41 （运用加法法则一进行运算）=-8 （运用加法法则二进行运算）. 把和为整数的加数相结合（凑整法）(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 原式 =(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8 （运用加法法则进行运算）=7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算）=-2.2 （得出结论）. 把分母相同或便于通分的加数
