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1、第1章 线性系统的状态空间描述 第一章 线性系统的状态空间描述 1.1 线性系统状态空间描述1.2 线性定常连续系统状态空间表达式的建立1.3 系统的传递函数矩阵1.5 组合系统的状态空间描述1.4 线性系统等价的状态空间描述1第1章 线性系统的状态空间描述 1.1 线性系统状态空间描述一系统数学描述的基本类型一系统数学描述的基本类型1 1几个基本定义几个基本定义系统：是由相互关联和相互作用的若干组成部分按一定规律组合而成的具有特定功能的整体。对于控制工程而言，它可能是被控对象、控制装置，也可能是某些部件的串联、并联和反馈组合。2第1章 线性系统的状态空间描述 图1-1 系统的方块图表示 图中
2、方块以外的部分为系统环境; 环境对系统施加的作用或激励称为系统输入，用向量 表示; 系统对环境的作用（即从外部量测到的系统信息）称为系统输出，用向量 表示； 系统输入和输出统称为系统的外部变量。 描述系统内部状况的变量称为系统的状态变量，用向量 表示，它是系统的内部变量。 3第1章 线性系统的状态空间描述 主要的数学描述输入输入输出输出描述描述矩阵矩阵分式分式描述描述状态状态空间空间描述描述系统系统矩阵矩阵描述描述4第1章 线性系统的状态空间描述 2 2系统数学描述的基本类型系统数学描述的基本类型1）输入输出描述（外部描述） 输入输出描述是描述系统输入输出变量关系的模型。如传递函数、微分方程等
3、. 输入输出描述（外部描述）仅描述系统的外部特性 ，不能反映系统的内部结构特征（即不能反映“黑箱”内部的某些部分），是对系统的一种不完全描述。System视系统为 black box5第1章 线性系统的状态空间描述 例如： 从输入输出关系来看，它们具有相同的传递函数：实际上这两个系统是不等价的，一个是能观不能控的，一个是能控不能观的。表明:系统的内部特性比起由传递函数表达的外部特性 要复杂得多，输入输出描述没有包含系统的全部信息，不能完整的描述一个系统。6第1章 线性系统的状态空间描述 2）状态空间描述（内部描述） 状态空间描述通过建立系统内部状态和系统的输入以及输出之间的数学关系，来描述系统
4、的行为。F( x，u，t )u(t)y(t)图1-3 系统的状态空间描述 状态空间描述（内部描述）能完全表征系统的一切动力学特征，它是对系统的一个完全描述。7第1章 线性系统的状态空间描述 状态空间描述是基于内部结构分析的数学模型，通常由两个数学方程组成。 状态方程：是描述系统内部变量 与输入变量 间因果关系的数学表达式，常具有微分方程或差分方程的形式。 输出方程：是表征系统内部变量及输入变量 和输出变量 间转换关系的数学表达式，具有代数方程的形式. 8第1章 线性系统的状态空间描述 系统的状态描述系统的过去、现 在和未来行为的变量 组，是用来完善地描 述系统行为的最小的 一组变量。状态变量
5、状态变量是指构成系 统状态的每一个变量 。状态变量构成的列 向量为状态向量。二二. . 状态的含义状态的含义9第1章 线性系统的状态空间描述 状态变量组可完全地表征系统行为的属性体现在：只要给定这组变量 在初始时刻t0的值 ，以及输入变量 在各瞬时tt0的值，则系 统中任何一个变量在tt0时的运动行为就可以被完全确定。系统的状态空间描述关于状态的几点说明 状态变量组的最小性体现在：状态变量 是为完全表征系统行为所必需的系统变量的最少个数，减少变量数将破坏表征的完全性，而增加变量数将是完全表征系统行为所不需要的。 10第1章 线性系统的状态空间描述 状态变量组选取上的不唯一性：由于系统中变量的个
6、数必大于n，而其中仅有n个是线性无关的，因此决定了状态变量组在选取上的不唯一性。系统的状态空间描述关于状态的几点说明 系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异变换的关系。 状态变量是时间域的。 状态变量有时是不可测量的。 状态变量不是所有变量的总和。 输出量可以选作状态变量。 输入量不允许选作状态变量。11第1章 线性系统的状态空间描述 状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量 称为n维状态向量。状态空间：以n个线性无关的状态变量作为基底所组成的 n 维空间称为状态空间Rn。状态轨线：随着时间推移，系统状态x(t)在状态空间所留下的轨迹称为状态轨线或状态轨迹。 12第1章 线性系统的状
7、态空间描述 1状态方程（）：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差分方程组(离散时间系统)称为系统的状态方程。状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为：或 三 线性系统的状态空间描述13第1章 线性系统的状态空间描述 2输出方程（）：描述系统输出变量与状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程组称为系统的输出方程。其一般形式为：或14第1章 线性系统的状态空间描述 3 3状态空间表达式：状态空间表达式：状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程或状态空间描述。其一般形式为：连续系统：离散系统：15第1章 线性系统的状态空间描述
8、 4 4线性系统状态空间表达式：线性系统状态空间表达式：状态方程与输出方 程都是线性方程的系统是线性系统。线性系统的状态方 程是一阶向量线性微分方程或一阶向量线性差分方程。线性连续系统状态空间表达式为：线性离散系统状态空间表达式为：（简记为 ） 16第1章 线性系统的状态空间描述 式中：若状态x、输入u、输出y的维数分别为n, p, q，则系统矩阵(或状态矩阵、系数矩阵);控制矩阵（或输入矩阵）；观测矩阵（或输出矩阵）；前馈矩阵（或输入输出矩阵）；17第1章 线性系统的状态空间描述 5 5线性定常系统状态空间表达式线性定常系统状态空间表达式( () )：线性系统 的状态空间描述中，若系数矩阵的
9、各元素都是常数，则 称该系统为线性定常系统(线性时不变系统), 否则为线 性时变系统.线性定常连续系统状态空间表达式为：线性定常离散系统状态空间表达式为：（简记为 ） （简记为 ） 18第1章 线性系统的状态空间描述 图1-4 线性连续时间系统结构图图1-5 线性离散时间系统结构图注意：1）每一个方块的输入输出关系规定为：输出向量 = (方块所示矩阵)(输入向量) 2）向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。19第1章 线性系统的状态空间描述 从以上两个结构图中可以看出，D描述了输入u 不经状态变量x对输出y的直接影响，它不影响系统的动态过程，实质上是系统外部模型的一部分。因此，当利用
10、状态模型来分析系统动态行为时 ，常假设D0，并不失对问题讨论的一性。连续时变系统：连续时不变系统：20第1章 线性系统的状态空间描述 C CBBDDAA输入输出描述仅揭 示系统在初始松弛 假定下输入输出间 的关系，不能揭示 系统的内部行为。复杂的线性系统， 求状态空间描述较 困难，可借助于直 接量测求取输入输 出描述。动态方程能够推 广到时变情形， 而传递函数向时 变情形的推广是 不成功的。若采用动态方程 描述，较容易在 计算机上对系统 进行仿真。输入输出描述和状态空间描述的比较 系统的状态空间描述21第1章 线性系统的状态空间描述 1.2 线性定常连续系统状态空间表达式的建立 建立状态空间表
11、达式的方法主要有两种：1.根据系统机理建立状态空间表达式：属于分析的途径，适用于结构和参数为已知的系统。直接根据系统的机理建立相应的微分方程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态空间表达式。2.由系统其它数学模型建立状态空间表达式：属于由系统其它数学模型建立状态空间表达式：属于辨识的途径，适用于结构和参数难以搞清楚的系统。通过实验手段取得数据并采用适当的方法确定系统的输入输出模型，再由所得的系统输入输出描述导出相应的状态空间描述 。 22第1章 线性系统的状态空间描述 一根据系统机理建立状态空间表达式一根据系统机理建立状态空间表达式根据系统机理建立状态空间描述的基本步骤：1）根据系
12、统所遵循的物理规律，建立系统的微分方程或差分方程；2）选取有关物理量 (变量) 作为状态变量，推导出系统的状态方程和输出方程。23第1章 线性系统的状态空间描述 例1-1（P403例9-1）：建立RCL网络的状态方程解：根据各元件的电流与电压关系、回路电压和等于 零，得到系统的方程：系统的输入、输出分别为24第1章 线性系统的状态空间描述 a）选取状态变量 ，则状态空间描述为： b）选取状态变量 ，则状态空间描述为： 状态变量选取方法不同，则状态空间描述不同。25第1章 线性系统的状态空间描述 比较两种状态变量选取方法，很容易得到它们之间的变换矩阵：即和注意：该例说明系统的状态空间描述不是唯一
13、的，各种描述之间可以相互转换，且不改变系统的固有性质。26第1章 线性系统的状态空间描述 二由系统其它数学模型建立状态空间表达式二由系统其它数学模型建立状态空间表达式（即化输入（即化输入输出描述为状态空间描述）输出描述为状态空间描述）状态实现：由输入-输出描述建立状态空间描述，称为状态实现。 一个给定系统的状态实现有多种形式。在线性系统理论中，要讨论某种性质时，为叙述方便，常采 用特定的标准形式。可控标准型实现可观测标准型实现对角型实现约当规范型实现 27第1章 线性系统的状态空间描述 1 问题的提法考虑一个单变量线性定常系统，其输入输出描述微分方程 如下： 状态实现问题将归结为选取适当的状态
14、变量组和确定各个系数矩阵。其中：或：28第1章 线性系统的状态空间描述 2. 可控标准型实现（）设 则矩阵形式的可控标准型实现为式中：友矩阵29第1章 线性系统的状态空间描述 总结：系统矩阵A的上方次对角线的元素全为1，最后一行是G(s)的特征多项式系数的相反数的逆序排列，其余元素全为零，上述形式的A阵称为友矩阵；控制矩阵（向量）b是最后一个元素为1，其余元素均为零的列向量；输出矩阵（向量）c是G(s)分子多项式系数的逆序排列。若动态方程中的A，b具有这种形式，则为可控标准型。30第1章 线性系统的状态空间描述 3 可观测标准型实现（）则矩阵形式的状态方程和输出方程为式中：友矩阵31第1章 线性系统的状态空间描述 总结：系统矩阵A的下方次对角线的元素均为1，最后一列是G(s)的特征多项式系数的相反数的逆序排列，其余元算全为零，上述形式的A阵称为友矩阵；输出矩阵（向量）c是最后一个元素为1，其余元素均为零的行向量；控制矩阵（向量）b是G(s)分子多项式系数的逆序排列。若动态方程中的A，c具有这种形式，则为可观测标准型。32第1章 线性系统的状态空间描述 例1-2（P411例9-5）（）：已知二阶系统的微分方程试求系统的状态空间表达式.解：系统传递函数为可控标准型：可观测标准型：33第1章 线性系统的状态空间描述 4 对角型实现当系统传递函数只含单实极点时，还
