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1、2.57 从纳米到宏观的输运过程从纳米到宏观的输运过程 2004 秋季秋季 第五讲第五讲 快速复习第四讲 1. 自由电子 能量的取值被波长限制 ()222 2/2;2 / ,/222hkEpmkhmm =hh h 2 2 2. 量子阱 U = = 能量及波函数 n=3 n=2 n=1 x 0U = 离散能量用量子数 n 表示 ()2221,2,8hnEnm D=K 对于二维势阱，量子数取n和 ，同时引入了“简并”的概念。 l3. 自旋 对于自由电子自旋1 2s = ，其中 S=1/2 为自旋向上，S=1/2 为自旋向下。 4.简谐振子 ()11/2 ;2nKEhv nvm=+= 2.57 秋季
2、 2004 讲座 5 1 注意: Heisenberg不确定原理2tE h要求E 2hv的零点能（自能） 。 u x 5. 电子绕核运动 u -e r e ()2 1 22213.61,1;,0,1,2,2el nMceVEnnmnn= = +=ll lhKE 3s 3p 3d n=3 (-1.5 eV) 18量子态 2s 2p n=2 (-3.4 eV) 8 量子态 200s 21(-1)s, 210s, 21(+1)s 1s n=1 100s (- 13.6 eV) 2 量子态 图中nlms在相应能级处标出，简并度为( )22g nn。 注意：随着电子数的增加轨道将会分裂。由于电子间相互作
3、用，3d能级将超过4s能 级。对于拥有19个电子的钾（K） ，n=3能级并未填满，4s轨道却已有一电子。 2.57 秋季 2004 讲座 5 2 2.3.5 能量量子化的观测 光子发射或吸收的条件为 ()pfEhvE=光子iE hp Ef Ei 电子-核子系统(氢原子)的允许能量状态为 213.6el neVEn= 在n=1，2之间的发射为 221113.61021phveVeV= 相应的波长为 /ppc v= 有时也采用波数 11ppvcmc=这些量之间可相互转化，应当掌握转化的方法。记住leV对应1.24m会很有用。 现在可以考虑分子或原子的总能量。总能量可近似为平动能，转动能及静电能的和
4、。 tottranselvibrotEEEEE=+ 平动能即为盒内粒子的运动的动能。对于氢原子，我们不考虑其它效应，只考虑振动 能和转动能。 + m1 m 2 两振动能级间的发射吸收能为 ()1/ 2nEhv n=+ 因此 ()1;2pfikhvhv nnvm= 其中约化质量为121 12 12(2m mm)mmmm=+m，选择定则为1finn= ，正号表示吸收，负号表示发射。通过测量振动频率可以导出弹性常数。2.57 秋季 2004 讲座 5 3 对于氢原子，振动波长2.3微米，即，这是个很大的弹性常数。 500/kN m注意：大的弹性常数是可以通过原子力显微镜在不破坏表面的基础上观测表面形
5、貌的 原因之一。当AFM梁的弹性常数远小于原子间的弹性常数时，探针扫描固体表面时 梁会发生变形而表面原子不会，梁的变形可由激光观测，表面形貌的清晰度可达nm 级甚至原子量级 一簇激光探测粱的弯曲 AFM探测表面 有2自由度的转动能量本征值为 ()()()2111,0,1,2EhBm=+=+=hl ll ll lK2+()()11pffiihvhB=+llll 其中B=1.8e12Hz。同样有。例如1,0fi= ll1fi=ll（吸收）时有一般转动能的波长约为100。 m(10)m（远红外区） ，远大于室温下的发射波长以下能带图中，小能量子带由转动能产生。 ()21pvvB l=+振动转动 振动
6、: n=2 n=1 2.57 秋季 2004 讲座 5 4 简并度为g(l)=2l+1下图中，能带态密度是l的增函数。 对于CO2( O = C = O )，存在三种基本转化模式： 对称性拉伸，非对称性拉伸及弯曲。吸收波长大约只和室温下的地表辐射波长相当。 注意：温室效应源于太阳辐射(0.5m)可以穿越CO2加热地球，而地表辐射则被其 吸收。 第3章 固体中的能态 3.1.1晶体的周期性排列 u a x ()(u xnau x)+=考虑一维晶格。相邻原子的势能交叠形成周期性势场。采用周期性边 界条件而不是限制性条件来计算电子能级。 3.1.2 可能的方法 首先回忆第4讲中的问题 （1） 自由电
7、子 2/ 2Epm=（2） 量子阱 2En2.57 秋季 2004 讲座5 5 能级和波函数 U = n=3 n=2 n=1 x U=0 透射波 (3) 电子核子系统（氢原子）213.6el neVEn= u r （4）作业2.5中阶梯势垒有反 射波核透射波。 00EU ,EU ,tt 透射波前进从界面开始衰减反射波 入射波 势垒 U0 稍候将讨论界面的影响，下图中存在不同界面反射波的干涉效应。 反射波 入射波 透射波 2.57 秋季 2004 讲座5 6 现在开始解周期为u的Schrdinger方程 首先考虑有限深量子阱及电子能量大于势阱的近自由电子情况。用矩型场近似势场。 与自由电子相比，
8、在kx=n/a ( n= 1, 2. )处出现小的能隙。能隙中没有电子能 级。这是干涉效应的结果，第5章中将会有详细的讨论。 E 自由电子 能隙 kx /a 2/a n=2 n=1 Pauli 不相容原理禁止禁止出现 现在回到量子阱。不同于驻波，势垒的有限性导致波函数在边界处不为零。然而，波 函数在势垒中的交迭违反Pauli不相容原理。这种情况下波函数会分裂，这一点稍候 会讨论。 2.57 秋季 2004 讲座 5 7 (2) Kronig-Penney模型 U: 势能势能 U0 a+b x x -b 0 a a+b (a) (b) 在一个周期内解Schrdinger方程 ()()20 02U
9、Exabm+=+h回忆作业2.5，在同一区域中有正向传播和反向传播的两列波。 需要确定下式中的系数A及B iKxiKxAeBe=+ 对于区域0,a 和a,a+b，共有四个未知系数。a点的连续性边界条件只给出两个边界 条件 ()()()() 1212,xaxaxaxa= 另外两个方程源于势场的周期性。不同周期内的波函数由Bloch定理相联系，即 ()( )()ikn a bxab nx e+=最终可由四个方程决定常数。请注意中的 k不同于中的K。 利用 Born-von Karman 边界条件可决定Bloch定理中的波失k。Born-von Karman边 界条件处理了晶格的端点。一般情况下我们
10、会认为两个端点不同于晶体的内点，对于 大多数应用而言，晶格点数量巨大（这不包括量子阱及量子点）没有必要区分边界点 和内点。Born-von Karman边界条件两个端点的波函数全同，即形成如下图所示的晶 格圈。 N Cells L=N(a+b) a+b 1 N+1 2.57 秋季 2004 讲座 5 8 1 N+1 首先有 ()( )xN abx+=利用Bloch定理，上式化为 ( )( )()expxxikN ab=+可得 ()()220, 1, 2nnknN abL=+K 其中L为晶体长度 令b为零可以更好的理解解的结构。下图说明任一波失k有许多可能的能量值E与 其对应。这些能量态形成以k为函数的准连续带（稍候会看到k本身也是准连续 的） 。由于波失k及()2/kma+处的波函数及能量本征值全同，它们实际上是同一 量子态，即只能计算一次。由此，我们不必画出全部波失的能量本征值，而只需画出 下图所示的第一个周期内的值。这种表示称为简约布里渊区表示。由于能带关于正负 波失具有对称性。一般只需画出0,/ a半周期即可。能态关于波失的关系称为色散关系。 2.57 秋季 2004 讲座 5 9 归一化波失 ()/ka 2.57 秋季 2004 讲座 5 10
