现代控制理论总复习

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1、课程总复习第一章一、基本概念1）状态空间表达式是由状态方程和输出方程组成；状态方程是一个一阶微分方程组，主要描述系统输入与系统状态的变化关系；输出方程是一个代数方程，主要描述系统的输出与状态和输入的关系。因此，状态空间表达式反映了控制系统的全部信息；2）对于不同的控制系统，根据相应的物理和化学定理，可建立其系统的状态空间表达式；3）对于同一系统，由于系统状态变量的选择不惟一，故建立的系统状态表达式也不是惟一的。但是同一系统的传递 函数阵却是惟一的，即所谓传递函数阵的不变性；没有零 极点对消的传递函数的实现称为最小实现，即在所有实现 中，它的阶数最小。 4）由于状态变量选择的不惟一，对于同一系统

2、，其状态空间表达式可能不同，但状态变量个数等于系统中独立储 能元件的个数；5）微分方程、传递函数和方块图与状态空间表达式之间可以相互转换。根据系统的传递函数可直接写出系统的能控标准型实现。当系统的数学模型以微分方程的形式描述且输入函数包含导数项时，可先将其等效地转换为系统的传递函数，然后利用传递函数的转换方法来建立系统的状态空间表达式，这种方法可大大简化其求解过程； 6）状态空间表达式经线性变换可化系统矩阵A为对角线标准型或约当标准型。若系统矩阵A的特征值互异，必存在非奇异变换阵，将系统矩阵A化为对角线标准型。当系统矩阵A的特征值有重根时，一般来说，经线性变换，可将A化为约当标准型；但在有些情

3、况下也能将A转换为对角线标准型；7）线性非奇异变换不改变系统的基本特征量，如线性非奇异变换不改变系统的特征值、传递函数阵等；二、要求1）掌握根据系统的物理机理建立系统状态空间表 达式的方法；2）会用系统结构图与模拟结构图来描述系统的状 态空间表达式；3）掌握由系统的微分方程式建立系统状态空间表 达式的两种方法；4）掌握由系统方框图建立状态空间表达式的方法 ；5）掌握由系统的传递函数建立系统状态空间表达 式的三种方法；6）掌握由系统的状态空间表达式求传递函数阵的方法；7）掌握由组合系统的状态空间表达式求传递函数阵的方法；8）利用线性变换可将状态方程化为对角线标准型或约当标准型；实现实现存在的条件

4、：mn 当mn时，d=0 当m=n时，可以用长除法求得d =bm0，问题化为 输出含有与输入直接关联的项 状态空间表达式的建立（P25、 P26 ）（i=0，1，2，n-1）能控标准型能观标准型 能控标准型 对偶例 设系统传递函数如下，试写出其标准状态空间描述。解：1）能控标准型 2）能观标准型 能控标准型 状态空间描述变换为标准形选择适当的变换矩阵T，使变换后的相似矩阵J为对角线型或约当标准形（i=1，2，l） 特征值有重根求标准形（P38）A的特征根有q个1的重根，其余（n - q ）个互异根，则pq+1， ， pn求解方法同前。p1， ， pq例 系统矩阵如下，试求将其变换成约当型矩阵的

5、变 换矩阵T。解：第二章 一、基本概念 1）线性定常连续系统非齐次状态方程的解分为 零输入的状态转移和零状态的状态转移；系统的输 出响应由零输入响应和零状态响应两部分组成。 2）线性定常连续系统齐次状态方程的解可表示为3）状态转移矩阵包含了系统运动的全部信息它可 以完全表征系统的动态特性。 4）线性时变系统非齐次状态方程的解在形式上类似于线性定常系统，即 式中， 为线性时变系统的状态转移矩阵，与 线性定常系统状态转移矩阵 有着显著区别 。 5）离散系统状态方程可以采用迭代法和Z变换法来求解。 6）线性定常连续系统的离散化，离散化的状态 空间表达式为 式中 7）线性时变连续系统的离散化,离散化的

6、 状态空间表达式为式中 二、基本要求1）熟练掌握状态转移矩阵的求解方法、性质、线性定常连续系统齐次状态方程的解2）熟练掌握线性定常连续系统非齐次状态方程的解；状态转移矩阵(t,t0)的基本性质1. (t,t0) 满满足自身的矩阵阵微分方程及初始条件 A和(t,t0)一般 不能交换2. 传递性 3. 可逆性 例 已知系统状态方程,试确定该系统在输入作用分别为单位脉冲函数、单位阶跃输入及单位斜坡函数时的状态响应。 解：（1）单位脉冲响应（2）单位阶跃响应（3）单位斜坡响应一基本概念1） 系统的状态能控性（1）若线性连续定常系统 在有限时间间隔t0,tf内存在无约束的分段连续输入信号u(t)，能使系

7、统以任意初始状态x(t0)转移到终止状态x(tf)，则称系统是状态完全能控的。第三章（2）线性定常连续系统常用能控性判据：(a) rankM=rank 。(b)当A为对角阵且特征根互异时，输入矩阵B中无全零行；当A为约当阵且相同特征值分布在一个约当块内时，B中与约当块最后一行对应的行不全为零，且B中相异特征值对应的行不全为零。(c) 的行向量线性无关。(d)单输入单输出系统 为能控标准型。(e)单变量单输出系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消。 （3）连续系统状态方程离散化后的能控性：连续系统不能控，离散化后的系统一定不能控；连续系统能控，离散化后的系统也不一定能控（与采样周期的

8、选择有关）。2） 系统的状态能观测性（1）若线性连续定常系统能根据有限时间间隔t0,tf内测量到的输出y(t)，唯一确定初始状态x(t0)，则称系统是状态完全能观测的。（2）线性定常连续系统常用能观测性判据：(a) rankN=rank(b)当A为对角阵且特征根互异时，C矩阵无全零列；当A为约当阵且相同特征值分布在一个约当块内时，C中与约当块第一列对应的列不全为零，C中相异特征值对应的列不全为零。(c) 的列向量线性无关。(d)单输入单输出系统 为能观测标准型。(e)单输入单输出系统，当由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消。（3）连续系统状态方程离散化后的能观测性：连续系统不能观测，离

9、散化后的系统一定不能观测；连续系统能观测，离散化后的系统也不一定能观测（与采样周期的选择有关）。3） 对偶原理线性系统 与 互为对偶系统 。若系统 能控，则 能观测；若系统 能观 测，则 能控。 4） 线性定常系统的结构分解从能控性和能观测性出发，状态变量可分解为能 控能观测，能控不能观测，不能控能观测和不能控 不能观测四类。以此对应，将状态空间划分为四个 子空间，系统也对应分解为四个子系统。研究结构 分解能更明显地揭示系统的结构特性和传递特性。 非奇异变换不改变系统的能控性与能观性，只有状 态完全能控（能观）的系统才能化为能控标准形（ 能观标准形）。5） 最小实现已知传递函数阵个G(s)，找

10、一个系统满足关系 则称系统 为G(s)的一个实现。当系统阶数等于传递函数阵的阶数时，称该系统为G(s)的一个最小实现。传递函数阵G(s)的实现并不唯一，最小实现也不唯一，仅最小实现的维数唯一。最小实现的常用标准形式有能控标准型实现，能观测标准型实现等。二、基本要求 1）正确理解能控性、能观测性的基本概念； 2）熟练掌握判定系统能控、能观测的充要条件及有关方法； 3）理解能控性、能观测性与系统传递函数阵的关系； 4）掌握状态空间表达式向能控、能观测等标准型变换的基本方法； 5）理解线性系统结构分解的作用和意义，了解结构分解的一般方法； 6）掌握传递函数阵的实现及最小实现的基本方法；为各项系数 线

11、性系统如果系统是完全能控的，那么存在线性非奇异变换使原状态空间描述转换为能控标准型状态空间描述为系统特征多项式nnnn与a0无关nn能控标准型为可直接写出系统传递函数为分子系数例1.判断能控性能控2.计算A的特征多项式3.求变换矩阵4.求能控标准形5.求传递函数例 求系统的能观测标准型。 解： 第四章 一、基本概念1）稳定性的四个定义(1) 李氏稳定；(2) 渐近稳定；(3) 大范围渐近稳定；(4) 不稳定。这四种定义全面地概括了古典理论和现代理论中对系统运动稳定性的描述，使稳定性分析有了一 种严格的理论依据。2）李氏第二法的基本判据李雅普诺夫第二法的显著优点就在于：不仅对于线性系统，而且对于

12、非线性系统，它都能给出关于在大范围内稳定性的信息。几个基本判据的区别主要集中在对于定号性判别上，可以简述为以下过程：可知系统构造V函数充分条件判据1 渐近稳定判据2 渐近稳定判据3 李氏稳定判据4 不稳定判据5 不稳定在定理的应用中，要注意以下几点：(1)构造一个合理的李雅普诺夫函数，是李氏第二法的关键，李氏函数具有几个突出性质： 李雅普诺夫函数是一个标量函数。 李雅普诺夫函数是一个正定函数，至少在原点的邻域是如此。 对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是惟一的。(2)如果在包含状态空间原点在内的邻域内，可以找到一个李雅普诺夫函数，那么，就可以用它来 判断原点的稳定性或渐近稳定性。然而这并不一

13、定 意味着，从邻域外的一个状态出发的轨迹都趋于无 穷大，这是因为李雅普诺夫第二法确定的仅仅是稳 定性的充分条件。3）线性系统李雅普诺夫函数的求法对于线性定常系统，李氏第二法具有以下几个特点：(1) 线性系统的稳定范围，均属于大范围的。(2) 线性定常系统的李雅普诺夫函数，可用简单的二次型函数来构成，即(3) 线性定常系统的二次型李雅普诺夫函数，可通过统一的公式来确定：线性定常连续系统 满足线性定常离散系统 满足4）非线性系统李雅普诺夫函数的求法非线性系统的问题比较复杂，只能针对具体问题进行具体分析。目前，许多人基于李雅普诺夫第二法理论，研究出一些切实可行的方法。本章所介绍的几种方法，在 工程实

14、用上较为广泛，具有以下几个显著特点：(1) 非线性关系是可用解析式表达的单值函数。(2) 系统的阶次不是太高。克拉索夫斯基法实际上属于线性化的方法，或称一次近似法，由此构造出的李氏函数还具有 二次型的形式，计算较方便。变量梯度法构造的李氏函数，不属于二次型的，但所取的梯度向量模式，可较好地满足各 种约束条件，也是一种应用性很强的方法。值得注意的是，以上几种方法都是李氏第二法的具体应用，若采用这些方法找不到一个合适 的李雅普诺夫函数，这并不意味着平衡状态是不 稳定的，此时不能作出任何结论。 二、基本要求（1）理解和掌握有关系统稳定性的基本概念和定理，包括：系统的内部稳定性和外部稳定性的定义、相关定理及两者的关系；李雅普诺夫意义下的稳定性、渐近稳定性、大范围渐近稳定性和不稳定性的定义。（2）理解和掌握李雅普诺夫稳定性理论，重点掌握李雅普诺夫第二法有关线性系统稳定性的判别方法和 一般步骤，了解非线性系统的李雅普诺夫分析方法。例 已知系统解: 系统具有唯一的平衡点 , 取 则因为除原点处外， 不会恒等于零。 当 时， ，所以系统在 其原点 处大范围渐近稳定。第五章 一、基本概念 1）状态反馈和极点配置 （1）利用状态反馈实现闭环极点任意配置的充要 条件是被控对象能控。 （2）状态反