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1、4-2 力学量算符和量子力学公式的矩阵表示 一、力学量算符的矩阵表示二、量子力学公式的矩阵表示 4-2 力学量算符和量子力学公式的矩阵表示 量子力学的三个基本要素是波函数、算符和薛定格方程。上一 节讲了波函数的矩阵表示，为了保证理论体系的一致性，必须实现 力学量算符与量子力学公式的矩阵表示。 在量子力学中，将坐标表象下的表示称为波动力学方法，把任 意力学量表象下的表示称为矩阵力学方法。在量子力学的历史上， 上述两种表示方法几乎是同时发展起来的，后来，狄拉克证明了它 们是等价的。 一、力学量算符的矩阵表示 力学量 满足的本征方程 算符 满足 把波函数 、 分别向 展开 代入到算符方程中，得 上式
2、两端做运算 ，得 令则称为算符 在 表象中的矩阵元。 算符 在 表象中的矩阵形式为 因为 是厄米算符，所以它的矩阵元的复共轭为 即矩阵中关于对角线对称的元素一定互为复共轭。或者 它表明矩阵是厄米矩阵。一般说来，实的对称矩阵都是厄米矩阵。 特例：力学量算符在自身表象中的矩阵。 算符在自身表象下是一个对称矩阵，并且本征值就是对角元 素。它的阵迹就是全部本征值之和。 说明： （1）欲求力学量 在 表象下的矩阵表示，必须知道力学量 的本征解，才能计算 的矩阵元； （2）不论在任何具体表象中，任何厄米算符 的矩阵元 一 定是一个数值，故其可以在公式中随意移动位置； （3）在不同的表象中，算符的矩阵元可能
3、会不同，但是该算 符的本征值不会改变； （4）如果的本征值为连续谱，则 构成正交归一完备基矢组。 算符 满足 把波函数 、 分别向 展开 代入到算符方程中，得 上式两端做运算 ，得 其中，算符 的矩阵元 例1坐标表象中 的矩阵元为 其中， 为变数， 、 为本征值。 例2动量表象中 的矩阵元为 或 例3动量表象中 的矩阵元为 例4求一维谐振子中，坐标算符、动量算符和能量算符在能 量表象中的矩阵表示。 解： 坐标算符、动量算符和能量算符在能量表象中的矩阵元分别为 所以，它们的矩阵表示分别是 二、量子力学公式的矩阵表示 1算符方程 以下内容都是在 表象下的表示。 或简写为 2本征方程 或简写为 方程
4、有非零解的充分必要条件是系数行列式为零。 因为任意力学量在自身表象中的矩阵都是对角的，所以，通常 把求解本征方程的过程称为矩阵对角化的过程。 3薛定格方程 式中 4平均值公式 对同一个物理问题可以在不同的表象下处理，尽管在不同的表 象下，波函数及算符的矩阵元是不同的，但最后所得到的物理结果 （力学量的可能取值、取值几率和平均值）却都是一样的。因为我 们所关心的只是有物理意义的结果，所以，允许对表象作选择。如 果选取了一个合适的表象，将使问题得到简化。这也就是表象理论 的价值所在。 例5已知力学量 在某表象中的矩阵表示为 ，求 它的本征值和归一化波函数，并将 对角化。 解： 首先，求解本征值方程 下面求本征函数。 把波函数归一化 同理 最后，把矩阵对角化。
