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1、1第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 4.3 齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的性质与解空间二、基础解系及其求法 Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
2、2第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 本节所考虑的齐次线性方程组为简记为一、齐次线性方程组解的性质与解空间主要讨论 有非零解的情况。Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty
3、Ltd.3第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 1. 解的性质证明 (1) 由 有(2) 由 有表明 齐次线性方程组解的线性组合仍然是它的解。一、齐次线性方程组解的性质与解空间(1) 若 为 的解，也是 的解。则也是 的解。故 也是 的解。即(2) 若 为 的解，也是 的解。则 P118 定理4.3 Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client
4、 Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.4第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 1. 解的性质2. 解空间称之为齐次线性方程组的解空间，解空间又称为 A 的零空间或者 A 的核。启示说明可以利用向量空间的基与维数等概念来研究齐次线性方程组的解。一、齐次线性方程组解的性质与解空间齐次线性方程组 的所有解构成一个向量空间，定义记为P118 Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Sli
5、des for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.5第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 二、基础解系及其求法(1) 线性无关；满足：(2) 的任何一个解都可以由设 为齐次线性方程组 的一组解，定义1. 基础解系线性表出。称 为方程组 的(一个)基础解系。P118 定义 4.3Evalu
6、ation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.6第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 二、基础解系及其求法1. 基础解系说明一组基础解系，其中 是任意常数。(1) 齐次线性方程组的基
7、础解系就是其解空间的基，因此基础解系是不惟一的。(2) 一组基础解系中所含的解向量的个数是惟一的，其个数即为解空间的维数。(3) 如果 为齐次线性方程组 的那么 的通解可表示为P119 Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 20
8、04-2011 Aspose Pty Ltd.7第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关，二、基础解系及其求法1. 基础解系2. 基础解系的求法于是 A 可化为设齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为初等行变换Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2
9、004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.8第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 二、基础解系及其求法1. 基础解系2. 基础解系的求法相应地，齐次线性方程组 等价(或同解)变形为Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyr
10、ight 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.9第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 二、基础解系及其求法1. 基础解系2. 基础解系的求法进一步改写为其中是自由未知量，共有 ( n - r ) 个。由此得到方程组 A X = 0 的所有解为：Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .N
11、ET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.10第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 二、基础解系及其求法1. 基础解系2. 基础解系的求法其中，任意取值。Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5
12、Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.11第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 二、基础解系及其求法1. 基础解系2. 基础解系的求法令Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile
13、 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.12第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 二、基础解系及其求法1. 基础解系2. 基础解系的求法则 (1)是方程组的一组线性无关的解，方程组的所有解可由(2)线性表示，即因此 是方程组的一组基础解系。注：具体对齐次线性方程组求解时，不一定非要明确地指出基础解系，只需按前面的求解过程完成即可。Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NE
14、T 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.13第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 二、基础解系及其求法1. 基础解系2. 基础解系的求法3. 关于解空间的维数定理设 A 为 阶矩阵，解空间 的维数为：推论设 A 为 阶矩阵，则(1) 齐次线性方程组 A X = 0 的任意 个线性无关的解都是它的(一个)基础解系。(2) A X = 0 有非零解的充要条件是则齐次线性方程组 A X = 0 的P119 定理 4.4P120 推论1 推论2 Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty
