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1、2015 年第 3 期福建中学数学35现数学规律为目的一种思维数学思维能力在形成 理性思维中发挥着独特的作用因此，提高学生的 数学思维能力，应该成为数学课堂教学的立意之 本而高三复习课，既肩负高考重任，又兼顾学生 的终身发展，其立意之难，实不足为外人道也 3.2 接地气，才能有底气接地气，才能有底气 新课程倡导学生的主体地位教学设计好不好， 最终还是要看学生学到了什么接地气，就是接学 生实际的“地气”， 应该包括： 学生的生理、 心理实际； 学生认知实际；学生的学习能力实际等Z 老师的学 生学会了数列求和的方法，但 Z 老师忽视了资优生 的发展， 弱化了对学生能力的培养； G 老师的学生提 升
2、了解决数列求和问题的能力，甚至解决其他问题的能力，但由于借班上课，对学生缺乏了解，导致 难度把握欠妥，教学效果也稍逊一筹笔者认为， 问题（1）可改为nnncab，问题（2）可改为11n nnca a，然后逐步提高难度，并配以适当的练习题这样也许更符合学生的认知习惯，既可夯实双 基，又能提升能力，既注重了理念又注重了实际操 作，岂不更好当然，G 老师的“倒序”手法在复习中 偶尔为之，突然提高一下学生的兴趣，或许能起到 意想不到的效果，值得一试参考文献参考文献 1中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准（实验）S北京： 人民教育出版社，2014练就慧眼，去伪存真练就慧眼，去伪存真解三角题出现两解应
3、当心纪宏伟江苏省如皋高等师范学校（226500）两解问题是一个很重要的解题观念，大多数情 况下，我们总是习惯去考虑什么样的情形会出现两 解，而一旦出现两解是否取舍，怎样取舍，相对关 注得不多在三角计算中，两解问题常常作为一个 很重要的检测项目，侧重的正是“取舍”问题 学生常 常能顺利解出“两解”， 但又往往忽视对“两解”的存在 性进行检查、判断，或者即便加以检验，也时常是 从表面现象出发，而未作深层次的挖掘与探析，导 致错误层出不穷三角题中的两解问题之所以显得 非常突出，是因角是三角问题中最活跃的元素，与 三角函数值密切相关，角的范围，决定着三角函数 的取值，反过来，三角函数的取值又决定着角的
4、范 围，当角的范围经过运算组合之后，或者条件较为 隐蔽时，角范围的精确性问题就成了决定解是一解 还是两解的关键因素“解出来是两解，但答案是一 解”的情况在三角计算中是较为普遍的，下面兹举数 例加以说明，希望达到在纠错中完善认识，加强警 觉，提高能力的目的 1 忽视函数单调性导致两解例忽视函数单调性导致两解例 1 在ABC中，3sin5A ，5cos13B ， 求cosC的值错解错解 不难算出4cos5A ，12sin13B ，因此当A为锐角时，4cos5A ，coscos()sinCABA16sincoscos65BAB；当A为钝角时，4cos5A ，56cos65C ；故16cos65C 或
5、56 65分析分析 这种解法忽视了关于角范围的更精确的范围事实上，32sin4552AA或135A ，但51coscos6060132BB，因此角A只可能小于45，由此416coscos565AC，只有一解例例 2 在ABC中，已知3sin5A ，3cos4B ，求cosC的值错解错解233cos242B，3045B 又132sin252A，3045A或135150A故6090AB或165195AB，从而cos A 36福建中学数学2015年第3期4 5所以3 712coscos()20CAB 或3 712 20分析分析 以上解答已把单调性考虑得很全面，角被 细化到非常理想的范围了， 看上去似
6、乎无懈可击 但 是若从这个角度考虑： 在ABC中，AB，cos Acos()cosBB ， 便不难发现“破绽”： 因为4 53 4，即coscosAB ，故4cos5A 不符合题意，故正确答案3 712cos20C，只有一解注注 将例 2 的结论： 在ABC中，coscos0AB， 直接用在例 1 上也是适合的，并且也是方便的如例 1，若4cos5A ，则45coscos0513AB ，故应舍去因此这类问题对解的检验可以简化 2 忽视隐含的限制条件导致两解 例忽视隐含的限制条件导致两解 例 3 已知锐角，满足sinsinsin0，coscoscos0，求的值错解错解 由sinsinsin co
7、scoscos ， ，两式平方相加， 得22cos()1，所以1cos()2又因0 2，02，所以 22，故 3 分析分析 上述解法看起来条理清楚，推理顺畅，但 平方关系掩盖了sin0，cos0这一隐含条件，事实上由，为锐角， 不难得出， 即 20，正确结果是 3 ，只有一解例例4 在ABC中， 已知3sin4cos6AB，3cos A4sin1B，求角C的值错解错解 将题设条件平方相加，得1sin()2AB，故1sin2C ，因C是ABC中的内角，从而30C 或150 分析分析 上述解法似乎毫无漏洞，过程完美，但是 只要留心观察则可发现，解题中忽视了在ABC中sin0A ，sin0B 这一隐
8、含条件， 事实上由3cos A4sin1B ， 可得1 3cos4sin0AB， 所以1cos3A 1 2，即60A ，正确答案是30C ，只有一解注注 从以上两例我们可以看到，在解三角题时， 既要注意题设中的显性条件，更要重视不易被发现 的隐含条件，只有这样，才能做到思路清晰，推理 严谨，解答正确 3 忽视函数的图象及性质导致两解例忽视函数的图象及性质导致两解例5 已知241cos91cos180， 332 ，求tan的值 错解错解 由题设得(41cos9)(cos2)0，因cos20，所以9cos41，又因332 ，所以240sin1 cos41 ，故40tan9 分析分析 只要画出cos
9、y在322，的草图，如图 1，便不难发现3()22，上cos0，而9cos410，表明3()22，不可能存在，只可能在(0)3，或(0)2，上；再根据cosy在(0)2，上是增 函 数 ， 而9coscos()413知 不 可 能 有(0)3 ，所以必有(0)2，这样40tan9，只有一解xy 23 2O图 1xyO 2 23 2 图 2例例 6 已知3cot4 ，3()42 ，求sin2的值错解错解 由21tan32cot42tan2 ， 因3()284 ，故解得tan22或1 2，再根据222tan2sin21tan2 ，所以当tan22时，可推断(0)22，故2 5sin25；2015
10、年第 3 期福建中学数学37当1tan22 时，21sin25， 但注意到3()224，时25sin225，故5sin25 所以答案是两解：2 5sin25或5 5分析分析 以上解答看似分析细致，思考全面，但观 察cotyx的图象， 如图 2， 在 (1)kk ，k Z内是减函数，在(0)4 ，上3cot()144 ，故(0)4 ，是不存在的； 而在3()2，上， 显然cot304 ，此区间也是不存在的，故只可能在()2，内，从而()242，2 5sin25，只有一解注注 由以上两例可见，根据相应三角函数的图象 及性质，可以除去“伪装”，从而确定角的有效范围， 所以应重视函数图象与性质在缩小角
11、的具体范围中 的作用 4 忽视三角公式中角的隐含范围导致两解例忽视三角公式中角的隐含范围导致两解例 7 设0，1sincos2，求cos2的值错解错解 由1sincos2两边平方得3sin24，因为0，所以022 ，由22sin 2cos 21，得237cos21 ()44 分析分析 在开方时，是不是cos2正负号都可以取呢？应引起警觉由3sin22sincos04 ，知2； 再由1sincos02， 可判定 23 4， 从而322， 故cos20，7cos24 ，只有一解事实上，2，sincos0，用二倍角公式：22cos2cossin(sincos) (sincos)立知cos20，可避免
12、角隐含范围的进一步讨论例例 8 已知6tan()22，13tantan7，求cos()的值错解错解tan()tan(2)2 62 ，cos(211)51tan () ， 即：coscossin1sin5 ， 又sinsin13 coscos7 ， 解得：sinsin13 30，7coscos30 ， 所以cos()coscos2sinsin3或2 3分析分析 在使用同角公式的平方关系的开方过程中， 忽视了三角公式中角的范围， 由6tan()22，可推得在第一象限或第二象限， 再由tan()2 60 ，可知在第二象限或第四象限，所以只可能在第二象限，1cos()5不可能成立，由此可知2cos()
13、3，只有一解本题开方时应引起警觉，而若选择二倍角公式：cos()22cos () 12，则可以避免增解1cos()55 忽视三角形中边角关系导致两解例忽视三角形中边角关系导致两解例 9 在ABC中，3cos()cos2ACB，2bac，求B错解错解 由3cos()cos()2ACAC，展开后即得3sinsin4AC ；再由2bac即得2sinsinsinBAC，故23sin4B ，所以3sin2B ，于是 3B 或2 3分析分析 对所求的结果进行验证，就可发现，当 2 3B 时，3cos()cos22ACB， 这显然不可能，应舍去事实上，考虑下边角关系，由2bac得知ba或bc，BA或BC，这
14、说明B不可能是最大角， 因此必有02B， 从而 3B ， 只有一解例例 10 在ABC中，80A ，22abbc， 求C错解错解222 cos2acbBac，将22abbc代入，得cos22bcaBab，因为2 sinaRA，2 sinbRB，38福建中学数学2015年第3期从而sin2sinBA，于是2BA或2180BA因80A ，从而40B 或50，60C 或50 分析分析 以上解答看似严丝合缝，难以找出错误， 但只要稍微检验一下：当50B ，50C 时，bc， 代入22abbc，即有222abc，90A ，便不难发现只存在一解60C 事实上，只要题设中消去a， 便不难得出B与C或b与c的关系：22bbcb22222 cosc
