《2019版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时分层作业二十七4.3平面向量的数量积及应用举例文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时分层作业二十七4.3平面向量的数量积及应用举例文（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -课时分层作业课时分层作业 二十七二十七 平面向量的数量积及应用举例平面向量的数量积及应用举例一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.已知向量 a a=(1,m),b b=(3,-2)且(a a-b b)b b,则 m=( )A.-8B.-5C.5D.8【解析】选 B.由(a a-b b)b b 知:(a a-b b)b b=0,所以 a ab b-b b2=0,即 3-2m-13=0,所以 m=-5.2.已知平面向量 a a 与 b b 的夹角为 60,a a=(2,0),|b b|=1,则|a a+2b b|=( )A.B.2C.4D.12【解析】选 B.由题得,|a a+2
2、b b|2=a a2+4a ab b+4b b2=4+421cos 60+4=12.所以|a a+2b b|=2.3.已知向量 a a,b b 满足|a a|=1,b b=(2,1),且 a ab b=0,则|a a-b b|=( )A.B.C.2D.【解析】选 A.|a a|=1,b b=(2,1),且 a ab b=0,则|a a-b b|2=a a2+b b2-2a ab b=1+5-0=6,所以|a a-b b|=.4.已知ABC 为等边三角形,AB=2,设点 P,Q 满足=,=(1-),R,若=-,则= ( )A.B.C.D.【解析】选 A.因为=-,所以-=-+- 2 -=-4-4
3、+2=-22+2-2,解得 =.【一题多解】选 A.如图建立平面直角坐标系,设 A(-1,0),B(1,0),C(0,),另设 P(x1,0),Q(x2,y2),由=,得 x1=2-1,由=(1-),得 x2=-;y2=(1-),于是=(-1,(1-),=(2-1,-),由=-得:(-1)(2-1)-3(1-)=-,解得 =.【变式备选】在等腰梯形 ABCD 中,已知 ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60, 点 E 和点 F 分别在线段 BC 和 CD上,且=,=, 则的值为_. 【解析】在等腰梯形 ABCD 中,由 ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60,得=,=1,=-1,- 3
4、 -= ,所以=+=1+-=.答案:5.(2015安徽高考)ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a a,b b 满足=2a a,=2a a+b b,则下列结论正确的是( )A.|b b|=1B.a ab bC.a ab b=1D.(4a a+b b)【解析】选 D.因为=-=(2a a+b b)-2a a=b b,所以|b b|=2,故 A 错误;由于=2a a(2a a+b b)=4|a a|2+2a ab b=4+212=2,所以 2a ab b=2-4|a a|2=-2,所以 a ab b=-1,故 B,C 错误;又因为(4a a+b b)=(4a a+b b)b b=4a a
5、b b+|b b|2=4(-1)+4=0,所以(4a a+b b).二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.若非零向量 a a,b b 满足|a a|=3|b b|=|a a+2b b|,则 a a,b b 夹角 的余弦值为_. 【解析】|a a|=|a a+2b b|,两边平方得,|a a|2=|a a|2+4|b b|2+4a ab b=|a a|2+4|b b|2+4|a a|b b|cos .又考虑到|a a|=3|b b|,- 4 -所以 0=4|b b|2+12|b b|2cos ,得 cos =-.答案:-7.(2018济南模拟)已知 A(-1,cos ),B(sin ,1
6、),若|+|=|-|(O 为坐标原点),则锐角=_. 【解析】利用几何意义求解:由已知可得,+是以 OA,OB 为邻边所作平行四边形 OADB 的对角线向量,-则是对角线向量,由对角线相等的平行四边形为矩形.知 OAOB.因此=0,所以锐角 =.答案:【一题多解】坐标法:+=(sin -1,cos +1),-=(-sin -1,cos -1),由|+|=|-|可得(sin -1)2+(cos +1)2=(-sin -1)2+(cos -1)2,整理得 sin =cos ,于是锐角 =.答案:【变式备选】已知 a a=(1,1),b b=(cos ,sin ).若 a ab b,则 =_. 【解
7、析】因为 a ab b,所以 cos =sin ,则 ta an =1,又因为 0,所以 =,=.1.(5 分)已知平面向量 a a,b b,若|a a|=,|b b|=2,a a 与 b b 的夹角 =,且(a a-m b b)a a,则 m=( )- 7 -A.B.1C.D.2【解析】选 B.因为平面向量 a a,b b,若|a a|=,|b b|=2,a a 与 b b 的夹角 =,且(a a-mb b)a a,所以(a a-mb b)a a=a a2-m a ab b=3-m2cos=0,求得 m=1.2.(5 分)(2018济南模拟)设非零向量 a a 与 b b 的夹角是,且|a
8、a|=|a a+b b|,则的最小值是( )A.B.C.D.【解析】选 B.因为非零向量 a a 与 b b 的夹角是,且|a a|=|a a+b b|,所以|a a|2=|a a+b b|2=|a a|2+|b b|2+2|a a|b b|cos,所以|b b|2-|a a|b b|=0,所以|b b|=|a a|,所以当 t=1 时,取最小值=.- 8 -3.(5 分)在ABC 中,已知 AB=3,BC=2,D 在 AB 上,=,若=3,则 AC 的长是_.【解析】因为=,所以=-,=+=-+,所以=-=-=4-=3,所以=,所以 32cos B=,所以 cos B=.在ABC 中,由余弦
9、定理得 AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=10.所以 AC=.答案:4.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长.(2)设实数 t 满足(-t)=0,求 t 的值.【解析】(1)方法一:由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).所以|+|=2,|-|=4.故所求的两条对角线的长分别为 4,2.方法二:设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则:E 为 BC 的中点,E(0,1),- 9 -又 E(0,1)为 AD 的中点
10、,所以 D(1,4).故所求的两条对角线的长分别为 BC=4,AD=2.(2)由题设知:=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)=0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,从而 5t=-11,所以 t=-.或者:=t,=(3,5),t=-.5.(13 分)(2018石家庄模拟)已知 A,B,C 分别为ABC 的三边 a,b,c 所对的角,向量 m m=(sin A,sin B),n n=(cos B,cos A),且 m mn n=sin 2C.(1)求角 C 的大小.(2)若 sin A,sin C,sin B 成等差数列,且(-)=18,求边 c 的长.【解析】(1)由已知得 m mn n=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B),因为 A+B+C=,所以 sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以 m mn n=sin C.又 m mn n=sin 2C,所以 sin 2C=sin C,所以 cos C=.又 0C,所以 C=.(2)由已知得 2sin C=sin A+sin B,由正弦定理得 2c=a+b.因为(-)=18,所以 abcos C=18,所以 ab=36.由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab所以 c2=4c2-336,所以 c2=36,所以 c=6.
