《2019版高考数学一轮复习第五章数列课时分层作业三十5.1数列的概念与简单表示法理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习第五章数列课时分层作业三十5.1数列的概念与简单表示法理（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -课时分层作业课时分层作业 三十数列的概念与简单表示法三十数列的概念与简单表示法一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.已知数列的前 4 项为 2,0,2,0,则归纳该数列的通项不可能是 ( )A.an=(-1)n-1+1B.an=C.an=2sinD.an=cos(n-1)+1【解析】选 C.对于 C,当 n=3 时,sin =-1,则 a3=-2,与题意不符.2.已知数列,2,则 2是这个数列的( )A.第 6 项B.第 7 项C.第 19 项D.第 11 项【解析】选 B.数列即:,据此可得数列的通项公式为:an=,由=2,解得:n=7,即 2是这个数列的第 7 项.3.设
2、数列an满足 a1=1,a2=3,且 2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则 a20的值是( )A.4B.4C.4D.4【解析】选 D.由题知:an+1=,a3=,a4=4,a5=,a6=,故 an=,所以 a20=4.- 2 -【变式备选】数列an满足:a1=1,且当 n2 时,an=an-1,则 a5=( )A. B. C.5 D.6【解析】选 A.因为 a1=1,且当 n2 时,an=an-1,则=,所以 a5=a1=1=.4.(2018西安模拟)设数列an的前 n 项和 Sn=n2,则 a8的值为( )A.15B.16C.49D.64【解析】选 A.a8=S8-S7=82
3、-72=15.5.(2018银川模拟)已知数列an的通项公式是 an=n2+kn+2,若对所有的 nN*,都有 an+1an成立,则实数k 的取值范围是( )A.(0,+)B.(-1,+)C.(-2,+)D.(-3,+)【解析】选 D.an+1an,即(n+1)2+k(n+1)+2n2+kn+2,则 k-(2n+1)对所有的 nN*都成立,而当 n=1 时,-(2n+1)取得最大值-3,所以 k-3.6.(2018北京模拟)数列an满足 an+1(an-1-an)=an-1(an-an+1),若 a1=2,a2=1,则 a20=( )A.B.C.D.【解题指南】数列an满足 an+1(an-1
4、-an)=an-1(an-an+1),展开化为+=,利用等差数列的通项公式得出.【解析】选 C.数列an满足 an+1(an-1-an)=an-1(an-an+1),展开化为+=.- 3 -所以数列是等差数列,公差为-=,首项为.所以=+19=10,解得 a20=.7.(2018黄冈模拟)已知数列an的前 n 项和 Sn=n2-2n+2,则数列an的通项公式为( )A.an=2n-3B.an=2n+3C.an=D.an=【解析】选 C.当 n=1 时,a1=S1=1;当 n2 时,an=Sn-Sn-1=2n-3,由于 n=1 时 a1的值不适合 n2 的解析式,故通项公式为 an=【巧思妙解】
5、选 C.当 n=1 时,a1=S1=1,A、B 选项不合题意.又 a2=S2-a1=1,所以 D 选项不合题意.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)8.(2018长沙模拟)在数列an中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记 Sn为an的前 n 项和,则 S2 018=_ _. 【解析】因为数列an满足 a1=1,an+1=(-1)n(an+1),所以 a2=-(1+1)=-2,a3=-2+1=-1,a4=-(-1+1)=0,a5=0+1=1,a6=-(1+1)=-2,a7=-2+1=-1,所以an是以 4 为周期的周期数列,因为 2 018=5044+2,所以 S2 018=5
6、04(1-2-1+0)+1-2=-1 009.答案:-1 0099.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数 1,3,6,10,记为数列an,则数列an的通项公式为_. - 4 -【解析】由题干图可知,an+1-an=n+1,a1=1,由累加法可得 an=.答案:an=10.(2018合肥模拟)已知数列an的前 n 项和 Sn=3-32n,nN*,则 an=_. 【解析】(1)当 n=1 时,a1=S1=3-321=-3.(2)当 n2 时,an=Sn-Sn-1=(3-32n)-(3-32n-1)=-32n-1.当 n=1 时
7、也符合上式,综合(1)(2),得 an=-32n-1.答案:-32n-11.(5 分)(2018衡水模拟)数列an满足 a1=2,an+1=(an0),则 an= ( )A.B.2n-1C.4n-1D.2n【解析】选 A.因为数列an满足 a1=2,an+1=(an0),所以 log2an+1=2log2an=2,所以log2an是公比为 2 的等比数列,所以 log2an=log2a12n-1an=.2.(5 分)若数列an是正项数列,且+=n2+n,则 a1+等于( )A.2n2+2nB.n2+2nC.2n2+nD.2(n2+2n)【解析】选 A.因为+=n2+n,所以 n=1 时,=2,
8、解得 a1=4,n2 时,+=(n-1)2+n-1,相减可得=2n,所以 an=4n2,n=1 时也成立,- 5 -所以=4n.则 a1+=4(1+2+n)=4=2n2+2n.3.(5 分)(2018郑州模拟)意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,即 F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+ F(n-2)(n3,nN*),此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用,若此数列被 3 整除后的余数构成一个新数列bn,则 b2 018=_.【解析】由题意得,引入“兔子数列”:1,1,2
9、,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,.此数列被 3 整除后的余数构成一个新数列为 1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2, 2,1,0,构成以 8 为周期的周期数列,所以 b2 018=b2=1.答案:14.(12 分)(2018泰安模拟)设数列an的前 n 项和为 Sn,数列Sn的前 n 项和为 Tn,Tn满足 Tn=2Sn-n2,nN*.(1)求 a1的值.(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)当 n=1 时,T1=2S1-1, 因为 T1=S1=a1,所以 a1=2a1-1,所以 a1=1.(2)当 n2 时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,则
10、 Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-2Sn-1-(n-1)2=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1,因为当 n=1 时,a1=S1=1 也满足上式,所以 Sn=2an-2n+1(n1),当 n2 时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,两式相减得 an=2an-2an-1-2,所以 an=2an-1+2(n2),所以 an+2=2(an-1+2),因为 a1+2=30,所以数列an+2是以 3 为首项,2 为公比的等比数列.所以 an+2=32n-1,- 6 -所以 an=32n-1-2,当 n=1 时也成立,所以 an=32n-1-2(nN*).5.(13 分)(2018银川模拟)已知函数 f(x)=2x-2-x,数列an满足 f(log2an)=-2n.(1)求数列an的通项公式.(2)证明:数列an是递减数列.【解析】(1)因为 f(x)=2x-,f(log2an)=-2n,所以 an-=-2n,所以+2nan-1=0,解得 an=-n,因为 an0,所以 an=-n,nN*.(2)=0,所以 an+1an,所以数列an是递减数列.
