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1、第第 1 1 次作业次作业 线性方程组及其解法线性方程组及其解法（解答）（解答） 知识小结： 1. 概念：线性方程组；解；解集；等价；系数矩阵；增广矩阵；初等行变换；行等价；主元位置；主元列；行阶梯形矩阵；行最简形矩阵；基本变量；自由变量. 2. 重点： （1）用初等行变换求矩阵的行最简形； （2）利用高斯-约当消元法解线性方程组. 3. 难点：行最简形矩阵 练习练习 1. 写出与下列线性方程组对应的系数矩阵与增广矩阵 （1） 121231,20;xxxx （2）12313120，；xxxxx 则（1）的系数矩阵为： ； （1）的增广矩阵为： . 13 21 131 21 0 （2）的系数矩阵
2、为： ； （2）的增广矩阵为： . 111 201 111 1 201 0 3. 高锰酸钾（4KMnO）与硫酸锰在水中发生化学反应生成二氧化锰、硫酸钾和硫酸，其方程式为： 14243242524624()KMnO()MnSO()H O()MnO()K SO()H SOxxxxxx 根据在化学反应中原有的原子不可能消失， 也不可能产生新原子的原理， 建立配平该化学方程式的线性方程组模型. 解：要使化学方程式解：要使化学方程式14243242524624()KMnO()MnSO()H O()MnO()K SO()H SOxxxxxx 到平衡，则有：到平衡，则有： 钾元素钾元素K：152xx ； 锰
3、元素锰元素Mn：124xxx； 氧元素氧元素O：12345644244xxxxxx； 硫元素硫元素S：256xxx； 氢元素氢元素H：3622xx ； 从而，使得该化学方程式平衡的方程组为：从而，使得该化学方程式平衡的方程组为： 151241234562563624424422xxxxxxxxxxxxxxxx ，即，即 151241234562563620044244000xxxxxxxxxxxxxxxx 4. 判断下列命题是否正确，并说明理由 （1）如果两个线性方程组有相同的解集，则它们等价 解：正确。由线性方程组等价的定义“如果两个线性方程组有相同的解集，则称它们是等价解：正确。由线性方程
4、组等价的定义“如果两个线性方程组有相同的解集，则称它们是等价或同解”可知，该命题是或同解”可知，该命题是正确的。正确的。 （2）一个矩阵可以通过不同的行变换序列变出不同的行最简形矩阵 解：错误。因为一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的。解：错误。因为一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的。 （3）如果两个矩阵 A 和 B 行等价，则它们有相同的行最简形矩阵. 解：正确。根据矩阵行等价的定义及矩阵行最简形矩阵的唯一性可得。解：正确。根据矩阵行等价的定义及矩阵行最简形矩阵的唯一性可得。 2. 下列矩阵【 ABDE 】是行阶梯形矩阵， 【 BE 】是行最简形矩阵. （A） 122 011 （B）01 00 （C）
5、110000 011 （D） 1001 0101 0010 （E）10011 01011 00123 解：根据“航阶梯形矩阵”及“行最简形矩阵”的定义可知，解：根据“航阶梯形矩阵”及“行最简形矩阵”的定义可知，ABDE 表示的矩阵是行阶梯形表示的矩阵是行阶梯形矩阵，矩阵，BE 表示的矩阵是行最简形矩阵。表示的矩阵是行最简形矩阵。 3. 只用一次初等行变换将下列矩阵变成行阶梯形矩阵，并指出主元位置和主元列 （1） 021 123 注意：本题的题目要求是“注意：本题的题目要求是“只用一次初等行变换将下列矩阵变成行阶梯形矩阵只用一次初等行变换将下列矩阵变成行阶梯形矩阵” 。 解：因为解：因为1202
6、1123 123021rr，所以矩阵，所以矩阵021 123 的的行阶梯形矩阵为行阶梯形矩阵为123 021 ，其其主元位置是： （主元位置是： （1,11,1） ， （） ， （2,22,2） ；） ； 主元列是：第主元列是：第 1 1 列、第列、第 2 2 列。列。 （2） 1234 0235 0212 解：因为解：因为3212341234 02350235 02120023rr ，所以矩阵，所以矩阵1234 0235 0212 的的 主元位置是： （主元位置是： （1,11,1） ， （） ， （2,22,2） ， （， （3,33,3） ； 主元列是：第主元列是：第 1 1 列、第列、
7、第 2 2 列列、第、第 3 3 列列。 4. 下列矩阵均为行阶梯形矩阵，请用初等行变换将它们变成行最简形矩阵，并指出主元位置和主元列 （1）011 002 注意：本题的题目要求是“注意：本题的题目要求是“用初等行变换将它们变用初等行变换将它们变成行最简形矩阵成行最简形矩阵” 。” 。 解：因为解：因为2121 0110110102 002001001rrr ，所以矩阵，所以矩阵011 002 的的行最简形行最简形矩阵为矩阵为010 001 ，其主，其主元位置是： （元位置是： （1,1,2 2） ， （） ， （2,2,3 3） ；） ； 主元列是：第主元列是：第 2 2 列列、第、第 3
8、3 列列。 （2） 1221 0131 0000 解：因为解：因为1212211081201310131 00000000rr ，所以矩，所以矩阵阵1221 0131 0000 的的行最简形矩行最简形矩阵为阵为1081 0131 0000 ，其主，其主元位置是： （元位置是： （1,1,1 1） ， （） ， （2,2,2 2） ；） ； 主元列是：第主元列是：第 1 1 列列、第、第 2 2 列列。 5. 利用高斯约当消元法求解下列线性方程组 （1）123123123203204530xxxxxxxxx 解：对该方程组的增广矩阵解：对该方程组的增广矩阵A O施行矩阵的初等行变换，将其化为行最
9、简形矩阵施行矩阵的初等行变换，将其化为行最简形矩阵 3221221123111071211 0132 00()57132 0075 0010237453 0075 000004rrrrrA Orrrrrr ， 所以所以1323107 507xxxx ，故原方程的解为，故原方程的解为13231 7 5 7xxxx （其中（其中3x取任意常数）取任意常数） 。 注：原方程组的解也可表示为注：原方程组的解也可表示为1231 7 5 7xcxcxc （其中（其中c取任意常数） 。取任意常数） 。 （2） 12312312332313425xxxxxxxxx 解：对该方程组的增广矩阵解：对该方程组的增广
10、矩阵A b施行矩阵的初等行变换，将其化为施行矩阵的初等行变换，将其化为行行阶梯形阶梯形矩阵矩阵 213231111 3111311132231 1011501153342 501140001rrrrA brr ， 因为因为01 是矛盾方程是矛盾方程，故原方程的，故原方程的无解。无解。 （3） 123123123242317365xxxxxxxxx 解：对该方程组的增广矩阵解：对该方程组的增广矩阵A b施行矩阵的初等行变换，将其化为行施行矩阵的初等行变换，将其化为行最简最简形形矩阵矩阵 21323124112 41124112227231 10557011175736 501082300259rrrrA brrr 3231213171 210100590101000192 2rrr rrrr ，所以原方程组的解为，所以原方程组的解为12371 10 59 10 9 2xxx 。 （4） 12312312122143xxxxxxxx 解：对该方程组的增广矩阵解：对该方程组的增广矩阵A b施行矩阵的初等行变换，将其化为行施行矩阵的初等行变换，将其化为行最简最简形形矩阵矩阵 2132312111 1111 1111 124 1212 1034101143 3410 3034130000rrrrA brrr
