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1、 实际问题与二元一次方程组学 习 目 标 导 航探索实际问题中的数量关系和变化规律, 能用二元一次方程组进行描述能用二元一次方程组刻画事物间的数量关系能用文字、 字母或图形等清楚地表达解决实际问题的过程, 并解释结果的合理性教 材 知 识 详 析要点 列二元一次方程组解决实际应用问题的一般步骤() 审清题目的数量关系, 用字母表示未知量; () 找出能够表示题目全部含义中的两个等量关系; () 根据等量关系列出方程组; () 解这个方程组, 求出未知数的值; () 写出答案和答注意:解实际应用问题必须写“ 答” , 而且在写答案前要根据应用题的实际意义, 检查求得的结果是否合理, 不符合题意的
2、解应该舍去 “ 设” “ 答” 两步, 都要写清单位名称 一般来说, 设几个未知数, 就应列出几个方程, 并组成方程组例 老师布置了一个探究活动作业: 仅用一架天平和一个 克的砝码测量壹元硬币和伍角硬币的质量( 注: 同种类的每枚硬币质量相同)聪明的孔明同学找来足够多的壹元和伍角的硬币, 经过探究得到以下两个探究记录:记录天平左边天平右边状态记录一枚壹元硬币,一个 克的砝码 枚伍角硬币平衡记录二 枚壹元硬币 枚伍角硬币,一个 克的砝码平衡请你用所学的数学知识计算出一枚壹元硬币多少克, 一枚伍角硬币多少克精析: 题目中待求的未知数有两个, 故可以考虑列方程组求解根据天平平衡的记录可以找到两个等量
3、关系:枚壹元硬币的质量 克的砝码的质量 枚伍角硬币的质量; 枚壹元硬币的质量 枚伍角硬币的质量 克的砝码的质量解答: 设一枚壹元硬币x克, 一枚伍角硬币y克, 依题意, 得x y, x y ,解得x,y故一枚壹元硬币克, 一枚伍角硬币克本题从天平着手, 建立重量相等的等量关系, 得出二元一次方程组, 生 活气息浓厚, 难度适中, 对这类图表型信息应用题, 要善于从图表中挖掘信息, 找 到一些隐含信息, 建立相应的数学模型, 灵活应用所学知识来解决实际问题, 是一 道考察学生学习应用方程能力的好题 列二元一次方程组比列一元一次方程更直接从算术方法到方程, 这次用列 方程组代替列方程, 这些都是用
4、计算来代替思考, 从而减轻思考的难度要点 列方程( 组) 解应用题的注意事项列方程( 组) 解应用题的步骤可简记为审、 设、 列、 解、 检、 答, 其中审题是前提,列方程组是关键, 而列方程组的关键是找出相等关系设元的方式有两种: 一是直接设元, 问什么, 设什么; 另一种是间接设元, 所“ 设” 不是所“ 求” , 而是一个中间元,通过中间元, 得到所求的未知量检验应带着两个目的, 一是检验所求的未知数是否满足所列方程组, 二是检验在未知数的值满足方程组的前提下, 考虑未知数的值是否满足生活实际特别需要注意的是: 设未知数时, 未知量的单位必须明确写出; 列方程组时, 务必使等式两边的代数
5、式所表达的意义相同, 单位一致, 但方程中不出现单位例 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗, 今年某商场销售甲厂家的高档、 中档、 低档三个品种及乙厂家的精装、 简装两个品种的盒装粽子现需要在甲、乙两个厂家中各选购一个品种() 写出所有选购方案; () 现某中学准备购买两个品种的粽子共 盒( 价格如下表所示) , 发给学校的“ 留守儿童” , 让他们过一个愉快的端午节, 其中指定购买了甲厂家的高档粽子,再从乙厂家购买一个品种若恰好用了 元, 请问购买了甲厂家的高档粽子多少盒?品种高档中档低档精装简装价格( 元/盒) 精析: 根据总价钱和盒数的等量关系列出方程组求解解答: ()共有种选购方案: (
6、 高, 精) , ( 高, 简) , ( 中, 精) , ( 中, 简) , ( 低, 精) , ( 低, 简)() 当选用方案( 高, 精) 时, 设购买高档粽子、 精装粽子分别为x,y盒, 根据题意, 得xy , x y 解得x ,y 经检验不符合题意, 舍去;当选用方案( 高, 简) 时, 设购买高档粽子、 简装粽子分别为x,y盒, 根据题意,得xy , x y 解得x ,y 故该中学购买了 盒高档粽子此题是一道很有现实意义的问题, 以实际生活中的材料或背景创设数 学问题, 关键是要弄清题意, 发掘出图表中提供的信息, 去分析与寻找相关的式子 表示现实生活中的数量关系, 将表中的信息与相
7、应的数学知识, 数学方法, 数学模 型联系起来方案设计题密切联系实际, 题型新颖, 对思维方法有较高的要求, 对 同学的思维能力、 分类讨论思想、 分析问题和解决问题能力具有较好的考查功能, 我们平时应重视这方面的学习和训练要点 列二元一次方程组解决实际问题的常用方法() 多变量的问题常用列表的方式解决, 因为利用表格可清楚地反映数量之间的变量关系, 从而容易看出多变量之间的联系, 从而达到少设未知数, 减少计算量的目的解决应用题时, 有这样一种规律: 如果少设未知数, 那么思路复杂, 计算简单; 如果多设未知数, 那么思路简单, 计算复杂我们应该根据具体的题目适当选择设未知数的个数() 借助
8、“ 线段图” 分析复杂的行程问题, 列二元一次方程组解行程问题的常见类型有两种: 一是速度已知, 这种类型的特征是速度已知, 时间和路程以相等关系的形式给出, 我们可以根据时间关系或路程关系来列出二元一次方程组; 二是时间已知, 路程和速度以相等关系的形式给出, 这时我们可以根据路程和速度列出二元一次方程组不可能路程已知, 如果已知路程, 那么列出的方程必是分式方程() 形积变化问题, 常常利用变化前后图形的面积和体积不变来列出方程 例 在课间活动中, 小英、 小丽和小敏在操场上画出A、B两个区域, 一起玩投沙包游戏沙包落在A区域所得分值与落在B区域所得分值不同当每人各投沙包四次时, 其落点和
9、四次总分如图 所示请求出小敏的四次总分图 精析: 设沙包落在A区域得x分, 落在B区域得y分, 根据小英、 小丽的得分图, 可以找到两个相等关系, 从而得到两个方程:xy ,xy 解答: 设沙包落在A区域得x分, 落在B区域得y分,根据题意, 得xy ,xy 解得x,y xy 故小敏的四次总分为 分解应用题是中考数学中最常见的题型, 列方程组解应用题, 关键是找 到题目中的相等关系, 从而列出方程( 组) , 它主要考查学生的方程思想、 数学建模 能力及分析问题、 解决问题的能力拉 分 典 例 探 究综合应用例 ( 要点、) 一辆汽车从A地驶往B地, 前 路段为普通公路, 其余路段为高速公路已
10、知汽车在普通公路上行驶的速度为 k m/h, 在高速公路上行驶的速度为 k m/h, 汽车从A地到B地一共行驶了 h 请你根据以上信息, 就该汽车行驶的“ 路程” 或“ 时间” , 提出一个用二元一次方程组解决的问题, 并写出解答过程精析: 在路程上可以提出的问题是: 普通公路和高速公路各多少千米?在时间上可以提出问题: 汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时?解答: 本题答案不唯一, 下列解法供参考解法一: 提出问题: 普通公路和高速公路各多少千米?解: 设普通公路长为xk m, 高度公路长为yk m根据题意, 得xy,x y 解得x ,y 故普通公路长为 k m, 高速公路长为 k m
11、解法二: 提出问题: 汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时?解: 设汽车在普通公路上行驶了xh, 高速公路上行驶了yh根据题意, 得xy , x y解得x,y 故汽车在普通公路上行驶了h, 高速公路上行驶了 h技法规律: 本题中的基本数量关系是路程速度时间, 速度已知, 所以可以在路程或时间上设计问题切勿提出其他与本题无关的问题例 ( 要点、) “ 五一” 期间, 小明、 小亮等同学随家长一同到某公园游玩, 下面是购买门票时, 小明与他爸爸的对话( 如图 ) , 试根据图中的信息, 解答下列问题:图 () 小明他们一共去了几个成人, 几个学生? () 请你帮助小明算一算, 用哪种方式购票
12、更省钱? 说明理由精析: () 根据图表信息, 得出成人票款加上儿童票款共 元, 设成人人数为x人, 学生人数为y人, 就可以列出方程组求解; () 计算买团体票的钱数, 与单独买的钱数相比较解答: () 设成人人数为x人, 学生人数为y人根据题意, 得y x, x y 解得x,y故学生人数为人, 成人人数为人() 如果买团体票, 按 人计算, 共需费用: 元因为 , 所以购买团体票更省钱故成人有人, 学生有人; 购团体票更省钱探索发现: 通过阅读图表信息, 要能将图表信息转化为常规信息, 明确已知量与未知量正确读出图中的信息是找准相等关系的关键例 ( 要点、) 为落实“ 促民生、 促经济”
13、政策, 某玻璃制品销售公司于今年月份调整了职工的月工资分配方案, 调整后的月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成( 计件奖励工资销售每件的奖励金额销售的件数)下表是甲、 乙两位职工今年五月份的工资情况信息:职工甲乙月销售件数( 件) 月工资( 元) 试求工资分配方案调整后, 职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元?精析: 题目中涉及两个未知量, 可以设两个未知数, 列方程组求解, 依据的相等关系分别是甲、 乙的月工资月基本保障工资每件的奖励金额件数解答: 设职工的月基本保障工资为x元, 销售每件产品的奖励金额为y元根据题意, 得x y ,x y 解得x ,y故职工月基本保障
14、工资为 元, 销售每件产品的奖励金额元归纳演绎: 列方程或方程组时, 等号两边表示的必须是相等的量正确利用表格中的数据是解答此题的关键例 ( 要点、) 九章算术 是我国东汉初年编订的一部数学经典著作在它的“ 方程” 一章里, 一次方程组是由算筹布置而成的 九章算术 中的算筹图是竖排的, 为看图方便, 我们把它改为横排, 如图 () 、 ()图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项把图() 所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来, 就是xy ,xy 类似地, 图() 所示的算筹图我们可以表述为( )()()图 Axy ,xy Bxy ,xy Cxy ,xy Dxy,xy 精析: 本题主要考查学生的看图能力, 只要看懂图() ()图中各行从左到右列出的算筹数, 再改写成方程组即可, 由图() 所得的方程组, 我们就可以推断出图 () 中的方程组解答:A归纳演绎: 本题较好地引入了中国古代数学问题, 九章算术 是我国东汉初年编订的一部数学经典著作, 也是中国数学史上引以为豪的一部著作, 选取这上面的内容作为考
