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1、盘点三角形折叠中的一次折叠问题312300? 浙江华维外国语学校? 徐? 骏? ? 近年来三角形折叠类问题频频出现, 成为中考命题的高频热点. 这类问题涉及知识面广, 往往与相似、 函数、 方程等知识融为一体, 主要考查学生的逻辑思维能力和空间想象能力. 解决这类问题的关键是要抓住折叠前后图形的对称关系, 灵活运用轴对称的性质. 本文以近几年中考题为例, 归纳其类型与解法, 供参考.1? 求角度图 1例 1? (2010年东阳 )如图1, D 是 AB 边 上 的 中 点, 将?ABC沿过 D 的直线折叠, 使点 A 落在 BC 上 F处, 若 ?B=50? , 则 ?BDF= ? ? ? ?
2、 ? 度.解析 ? 由折叠可知 FD =AD, 又 AD = BD,所以 FD = BD, 则 ?BFD = ?B= 50? ,故 ?BDF= 180?- ?B- ?BFD = 80? .例 2?( 2010年泉州 )如图 2所示, 在折纸活动中,小明制作了一张 ?ABC 纸片, 点 D, E 分别在边 AB, AC上, 将 ?ABC 沿着 DE折叠压平, A 与 A ? 重合, 若 ?A =70? , 则 ? 1+ ? 2=A. 140? ? B . 130? ? C . 110? ? D. 70?图 2? ? ? ? ? ? ? ? ? 图 3解析 ? 连接 AA ? (如图 3), 由折
3、叠可知 A? E= AE, 则?EAA?= ?EA? A, 又 ? 1= ?EAA ? + ?EA? A,所以 ? 1= 2?EAA ? .同理 ? 2= 2?DAA? , 则? 1+ ? 2= 2( ?EAA ? + ?DAA?) = 2?BAC= 140? .故选 A.2? 求三角函数值例 3? (2008年泰安 )直角三角形纸片的两直角边长分别为 6 , 8, 现将 ?ABC如图 4那样折叠, 使点 A 与点B重合, 折痕为 DE, 则 tan?CBE的值是图 4A.24 7? ? ? B.7 3? ? ? C .7 24? ? ? D.1 3解析 ? 由折叠可知 BE= AE.设 CE
4、= x, 则 BE= 8- x.在 Rt?BCE 中, BE2= BC2+ CE2, 即( 8- x)2= 62+ x2,解得 x=7 4, 则 tan?CBE=CE BC=7 4 6=7 24.故选 C.图 5例 4?( 2009 年泰安 )如图 5, 在 Rt?ABC 中, ?ACB =90? , ?A ?B, 沿 ?ABC 的中线 CM 将 ?CMA 折叠, 使点 A落在点 D 处, 若 CD 恰好与 MB垂直, 则 tanA 的值为 ? ? ? .解析 ? 由折叠可知 ?ACM= ?DCM.因为 CM 是 Rt?ABC中斜边 AB上的中线,所以 AM = C M = BM,则 ?A =
5、 ?ACM = ?DCM =1 3? 90?= 30? ,所以 tanA = tan30?=3 3.3? 求点到直线的距离例 5? (2009年上海 )在 Rt?ABC 中, ?BAC= 90? ,AB= 3,M 为边 BC 上的点, 连接 AM (如图 6). 如果将50?( 2011年第 5期? 初中版 )? ? ? ? ? ? ?复习参考?图 6?ABM 沿直线 AM 翻折 后,点 B恰好落在边 AC的中点处, 那么点 M 到 AC 的距离是 ? ? ? ? .解 析 ?由 折 叠 可 知图 7?A ? AM=?BAM =45? ,?AA? M = ?B, A? A =1 2AC= BA
6、 = 3, 故 AC= 6 .过点 M 作 MD ? AC (如图 7), 则 ?ADM 为等腰直角三角形,设 MD = x,则 AD = x, CD = 6- x.由 MD ?AB,可得 ?CDM ? ?CAB,则CDCA=DM AB,即6- x 6=x 3, 解得 x= 2,即点 M 到 AC的距离是 2.4? 求周长图 8例 6?( 2008 年徐州 )如图8, Rt?ABC 中, ?B = 90? , AB =3c m, AC= 5c m, 将 ?ABC 折叠, 使点 C 与 A 重合, 得折痕 DE, 则?ABE的周长等于 ? ? ? ?c m.解析 ? 在 Rt?ABC中, BC
7、=AC2- AB2= 4. 由折叠可知 CE= AE.所以 ?ABE 的周长 = AB + BE + AE = AB + (BE +CE) = AB+ BC= 7c m.例 7? (2009年衢州 )在 ?ABC中, AB= 12, AC= 10 ,BC= 9, AD 是 BC边上的高. 将 ?ABC按如图 9所示的方式折叠, 使点 A 与点 D 重合, 折痕为 EF, 则 ?DEF 的周长为图 9A. 9. 5? ? ? B. 10 . 5? ? ? C . 11? ? ? D. 15 . 5解析 ? 由折叠可知 DE = AE, DF= AF. 由 DE = AE,得 ?EAD = ?ED
8、A.因为 ?EAD + ?EBD = 90? , ?EDA + ?EDB= 90? ,所以 ?EBD = ?EDB, 则 BE= DE= AE= 6.同理 CF= DF= AF= 5, 从而可得 EF 是 ?ABC的中位线, 则 EF=1 2BC= 4. 5.所以 ?DEF的周长 =DE+ EF+ DF = 6+ 4. 5+ 5=15. 5.图 10故选 D.例 8 ?( 2009 年河 北 ) 如图10, 等边 ?ABC的边长为 1c m, D, E分别是 AB, AC 上 的点, 将 ?ADE沿直线 DE 折叠, 点 A 落在点 A?处, 且点 A? 在 ?ABC外部, 则阴影部分图形的周
9、长为 ? ? ? ?c m.解析 ? 由折叠可知 A? D = AD, A ? E= AE.则阴影部分图形的周长 = BD + A? D + BC+ A? E+ CE= (BD + AD ) + BC+ (AE+ CE) = AB+ BC+AC= 3cm.5? 求线段的长图 11例 9?( 2009 年山东 )将三角形纸片 ( ?ABC)按如图11所示 的方式折叠, 使 点 B落在边 AC上, 记为点 B? , 折痕为 EF. 已知 AB= AC= 3, BC=4, 若以点 B? , F, C为顶点的三角形与 ?ABC相似, 那么 BF的长度是 ? ? ? ? .解析 ? 由 AB=AC, 得
10、 ?B= ?C. 由折叠可知 B? F =BF.设 BF= x, 则 B? F= x, FC= 4- x.若以点 B? , F, C为顶点的三角形与 ?ABC相似,则 ?FB? C= ?B 或 ?FB? C= ?A.当 ?FB? C= ?B, 即 ?FB? C= ?C时, FB?= FC,则 x= 4- x, 解得 x= 2 .当 ?FB? C= ?A 时, B? F?AB,可得 ?B? FC? ?ABC, 则B? FAB=FC BC, 即x 3=4- x 4,解得 x=12 7.所以, BF的长度是 2或12 7.例 10?(2010年扬州 )如图 12, 在 Rt?ABC中, ?C= 90
11、? , AC= 8, BC = 6, 按图中所示方法将 ?BCD 沿 BD折叠, 使点 C落在边 AB上的点 C? 处, 则折痕 BD 的长为51?复习参考? ? ? ? ? ?( 2011年第 5期? 初中版 )图 12.解析 ? 由折叠可知 BC?= BC= 6, C? D = CD.在R t ?ABC中,AB=AC2+ BC2= 10, AC?= AB - BC?= 4.设 CD = x, 则 C? D = x, AD = 8- x. 在 Rt?AC? D 中,AD2= AC?2+ C? D2,即 (8- x)2= 42+ x2, 解得 x= 3, 即 CD = 3.在 Rt?BCD 中
12、, BD =CD2+ BC2= 3 5.例 11?(2010年绵阳 )如图 13, 一副三角板拼在一起, O 为 AD 的中点, AB = a. 将 ?ABO 沿 BO 对折于?A ? BO,M 为 BC上一动点, 则 A? M 的最小值为 ? ? ? .图 13? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 图 14解析 ? 过 A? 作 A ? M ?BC于 M (如图 14), 此时垂线段 A? M 的长度即为 A? M 的最小值.设 OA? 交 BD于点 E,连接 A ? C, 易证 O, A? , C三点共线.在 Rt?ABD 中, AB= a, ?A = 60? ,则 AD = 2
13、a, BD =3a, OE=1 2AB=1 2a.由折叠可知 OA ? = OA=1 2AD = a.在 Rt?BCD 中, BD =3a, ?BDC= 45? , 则CE=1 2BD =3 2a, ?A ? C M = 45? ,故 A? C= OE+ CE- OA ? =1 2a+3 2a - a =3- 1 2a.在 Rt?A ? C M 中, A ? C=3- 1 2a, ?A ? CM = 45? ,所以 A? M =2 2A ? C=6-2 2a,即 A? M 的最小值为6-2 2a.图 156? 求点的坐标例 12?(2009年天津 )已知一个直角三角形纸片 OAB, 其中 ?A
14、OB =90? , OA = 2, OB = 4. 如图 15 , 将该纸片放置在平面直角坐标系中, 折叠该纸片, 折痕与边 OB 交于点 C, 与边AB交于点 D.(1)若折叠后使点 B 与点 A 重合, 求点 C的坐标;(2)若折叠后点 B落在边 OA 上的点为 B? , 设 OB?=x, OC= y, 试写出 y关于 x的函数解析式, 并确定 y的取值范围;图 16(3)若折叠后点 B 落在边 OA上的点为 B? , 且使 B? D?OB, 求此时点 C的坐标.解析 ?(1)设 OC= x, 如图 16,由折叠可知 AC= BC= 4- x.在 Rt ?AOC 中, AC2= OC2+O
15、A2, 即 (4- x)2= x2+ 22,解得 x=3 2.所 以, 点 C 的 坐 标 为 ( 0,3 2).(2)如图 17, 由折叠可知 B? C= BC= 4- y.在 Rt?B? OC中, B? C2= OC2+ OB?2, 即4- y2= y2+ x2,所以 y= -1 8x2+ 2( 0? x? 2).因为当 0? x? 2时, y随 x的增大而减小, 所以 y的取值范围为3 2? y? 2.图 17? ? ? ? ? ? ? ? 图 1852?( 2011年第 5期? 初中版 )? ? ? ? ? ? ?复习参考?(3)如图 18, 由折叠可知 ?CB? D = ?CBD.因
16、为 B? D ?OB,所以 ?OCB?= ?CB? D = ?CBD,则 tan?OCB?= tan?CBD, 即OB?OC=OA OB=1 2,故 OC= 2OB? . 设 OB?= x,由 (2)知 OC= -1 8x2+ 2,从而可得 -1 8x2+ 2= 2x, 解得 x 1= - 8+ 4 5,x2= - 8- 4 5(不合题意, 舍去 ),此时 OC= 8 5- 16,所以点 C的坐标为 (0, 8 5- 16).7? 求面积图 19例 13?( 2010年广西 )如图 19 , 将边长为 3+3的等边?ABC折 叠, 折痕为 DE, 点 B与点 F 重合, EF 和 DF 分别交AC于点 M,N, DF?AB, 垂足为D, AD = 1. 设 ?DBE 的面积为S, 则重叠部分的面积为 ? ? ? . (用含 S 的式子表示 )解析 ? 由折叠可知 S? DFE= S? DBE, DF = DB= 3+3- 1= 2+3, ?F= ?B = 60? ,又 ?FNM = ?AND,所以 ?FMN = ?ADN = 90? .在 Rt?ADN 中, AD
