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1、数列知识点 及高考典型习题 一、基本概念：数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；常数列、递增（减）数列、摆动数列、循环数列；通项公式na；前n项和公式nS二、任意数列的通项na与前n项和nS的关系： =)2()1(11 nSSnSannn若1a满足由1=nnnSSa推出的na，则需要统一“合写” ；若不满足，则数列的通项应分段表示。三、等差数列 1、等差数列及等差中项定义注：根据定义，当我们看到形如：daann=1、daann=2 12、daann=1、daann=111、211+=nn naaa、dSSnn=1时，应能从中得到相应的等差数列。2、等差数列的通项公式：dna
2、an)1(1+=、dknaakn)(+=(其中1a为首项、ka为已知的第k项)当0d时，na是关于n的一次式；当0=d时，na是一个常数。3、等差数列的前n项和公式：2)(1n naanS+=dnnnaSn2)1(1+=当0d时，nS是关于n的二次式且常数项为 0；当0=d时（01a） ，1naSn=是关于n的正比例式。4、等差数列na中，若qpnm+=+，则qpnmaaaa+=+5、等差数列na的公差为d，则任意连续m项的和构成的数列mS、mmSS2、mmSS23、 仍为等差数列，公差为dm2。6、等差数列na的公差为d，前n项和为nS，则数列nSn是等差数列，公差为2d。特别地mSm、mS
3、m 22、mSm 33组成等差数列。7、两个等差数列na与nb的公差分别为1d和2d，则数列nnqbpa+为等差数列，且公差为21qdpd+8、等差数列na的任意等距离的项（项数组成等差数列）构成的数列仍为等差数列。如1a、5a、9a、 34na9、na为等差数列，公差为d，则数列nac(0c)是等比数列，公比为dc。10、 在等差数列na中： 若项数为n2，则ndSS=奇偶 nn aa SS1+=奇偶)(222121 12nn naanaanS+=+=+ 若项数为12 +n，则1+=naSS偶奇nn SS1+=偶奇 1121 12) 12(2) 12(+ +=+=nn nanaanS11、两
4、个等差数列na与nb的前n项和分别为nS、nT，则1212=nnnn TS ba（略证：12121211212)12(2)12()12()12(=+ =nnnnnnnn TS bbnaanbnan ba）12、在等差数列na中,有关nS的最值问题（1）邻项变号法 当01a、0d时，满足 +001mm aa 的项数m使得mS取最小值.（2）利用nS（0d时，nS是关于n的二次函数）进行配方（注意n应取正整数）四、等比数列 1、等比数列及等比中项定义：注：根据定义，当我们看到形如：1=nnqaa、)()(11+=nnnnaaqaa、112 +=nnnaaa、)()(1taqtann+=+、1=nn
5、qSS应能从中得到相应的等差数列。2、等比数列的通项公式：1 1=n nqaakn knqaa=(其中1a为首项、ka为已知的第k项，0na)关于等比数列na的单调性：当1=q时，na为常数列当0q且01a时，na为递增数列；当1q且01a时，na为递减数列；3、等比数列的前n项和公式：当1=q时，1naSn=(是关于n的正比例式)；当1q时，qqaSnn=1)1(1 qqaaSn n=114、等比数列na中，若qpnm+=+，则qpnmaaaa=5、等比数列na的公比为q，且0nS,则任意连续m项的和构成的数列mS、mmSS2、mmSS23、 仍为等比数列，公比为mq。6、两个等比数列na与
6、nb的公比分别为p和q，则数列nnba、 nn ba 、 nb1仍为等比数列，公比分别为pq、qp、q1。7、等比数列na的任意等距离的项（项数组成等差数列）构成的数列仍为等比数列。如1a、5a、9a、 34 na8、等比数列na的公比为q，且0na，则logncb(0c且1c) 是等差数列，公比为qclog。9、在等比数列na中： 若项数为n2，则qSS=奇偶 若数为12 +n则，qSaS=偶奇1五、求数列na的最大、最小项的方法：1、比差法： =+ 0001nnaa例：已知数列na的通项公式为：32922+=nnan，求数列na的最大项。2、比商法： =+1111nn aa(0na)例：已
7、知数列na的通项公式为：nnnna10)1(9+=，求数列na的最大项。3、利用函数的单调性：)(nfan=研究函数)(nf的增减性例：已知数列na的通项公式为：20082007 =nnan，求数列na的最大项。六、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。 1、分组法求数列：通项虽然不是等差等比数列，但通过拆分可以化为由等差、等比的和的形式，再分别用公式法求和。例：已知数列na的通项为：n nna32 +=，求nS例：在等差数列 na中，11=a，2=d，依次抽取这个数列的第1，3，23， ，13n项，组成数列 nb，求数列 nb的通项nb和前
8、n项和nS2、错位相减法：利用等比数列前n项和公式的推导方法求解，一般可解决一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和。例：已知数列na的通项为：n nna2)12(=，求nS说明： （1）一般地，如果数列 na是等差数列， nb是等比数列且公比为q，求数列nnba的前n项和时，可采用这一思路和方法。具体做法是：乘以常数q，然后错位相减，使其转化为等比数列问题求解。 要善于识别题目类型，特别是当等比数列部分中公比为负数的情形更值得注意。（2）在写出“nS”与“nqS”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐” ，以便于下一步准确写出“nnqSS”的表达式；3、裂项相消法：将数列的通项裂成
9、两项之差求和时，正负相消，剩下首尾若干若。常见裂项有：)11(1 )(1 knnkknn+=+、)(11nknknkn+=+例：已知数列na的通项为：)1(1 +=nnan，求前n和nS例：在等差数列na中21=a、83=a，若nnnaab+=+11，求数列的nb前n和nT4、倒序相加法：利用等差数列前n项和公式的推导方法求解，将数列正着写，倒着写再相加。例：na中，已知)30cos(cos =nnan，求60S的值5、有关绝对值的问题：例：在等差数列na中201=a、2=d，（1）求数列na前n和nS； （2）求数列|na前n和nT；七、由数列递推关系式求通项公式。 1、利用等差等比定义求通
10、项公式；2、用累加法求)(1nfaann+=+型通项；3、用累乘法求1)(=nnanfa型通项4、用构造等比数列求BAaann+=1型数列通项；5、通过nS求na；6、取倒数转化为等差数列3数列na的前n项和为nS，11=a，121+=+nnSa（1n）（1）求数列na的通项公式na（2）等差数列nb的各项为正数，且52=b，又11ba+，22ba+，33ba+成等比数列，求nb（3）求数列nnba的前n项和nT3解： （1）121+=+nnSa（1n）121+=nnSa（2n）-得：)(211+=nnnnSSaa即nnnaaa21=+（2n）nnaa31=+（2n）即31=+nn aa（2n
11、）11=a，121+=+nnSa3121212=+=+=Sa31312=aa31=+nn aa（1n）数列na是等比数列，首项为 1，公比为 313=n na（2）数列nb为等差数列，且52=b设dnbn)2(5+=，故ddb=+=5)21 (51，ddb+=+=5)23(53 又ddba=+=+65111，85322=+=+ba，ddba+=+=+145933 11ba+，22ba+，33ba+成等比数列28)14)(6(=+dd即02082=+dd解出10=d（舍去）2=d 122)2(5+=+=nnbn（3）13)12(+=n nnnba132103)12(39373533+=n nnTn nnT3)12(3937353334321+=由-得nn nnT3)12()3333(23)31(1321+=nnnnn nnn323)12(33)12(31)31(3231 =+=+=即n nnT3=
