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1、第五节 合情推理与演绎推理三年21考 高考指数:1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.1.归纳推理与数列相结合问题是考查重点；2.类比推理、演绎推理是重点，也是难点；3.以选择题、填空题的形式考查合情推理；以选择题或解答题的形式考查演绎推理，题目难度不大，多以中低档题为主.1.推理(1)定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.(2)分类：推理一般分为_与_两类.合情推理演绎推理【即时应用】(1)
2、思考：一个推理是由几部分构成的？提示：从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论.(2)数列2,5,11,20,x,47,中的x等于_.【解析】5-2=3,11-5=6,20-11=9,推出x-20=12，所以x=32.答案：32(3)已知数列 则 是第_项.【解析】由题可知该数列的第n项 由得2n-1=45，n=23.答案：232.合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的_的推理，或者由个别事实概括出_的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的_，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由
3、_到_、由 _到_的推理由_到_的推理全部对象都具有这些特征一般结论某些已知特征部分整体 个别一般特殊特殊归纳推理类比推理一般 步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)【即时应用】(1)判断下列命题是否正确(请在括号中填或)(ab)n=anbn与(a+b)n类比，则有(a+b)n=an+bn; ( )loga(xy)=logax+logay与sin(+)类比，则有sin(+)=sinsin; ( )(a+b)2=a2+2ab
4、+b2与(a+b)2类比，则有(a+b)2=a2+2ab+b2.( )(2)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积的比为14，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积的比为_.【解析】(1)错.(a+b)2=a2+2ab+b2a2+b2;错.sin(+)=sincos+cossinsinsin; 对.(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2满足向量数量积的运算.(2)两个正四面体的棱长的比为12，则其高之比为12，底面积之比为14，故其体积的比为18.答案：(1) (2)183.演绎推理(1)定义：从_出发，推出_下的结论，我们把这种推理称为
5、演绎推理.(2)特点：演绎推理是由_的推理.一般性的原理某个特殊情况一般到特殊(3)模式：三段论“三段论”是演绎推理的一般模式：“三段论”的 结构大前提已知的_；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对_做出的判断“三段论”的 表示大前提_.小前提_.结论S是P一般原理特殊情况M是PS是M【即时应用】(1)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，判断下列说法的真假(填“真”或“假”)使用了归纳推理 ( )使用了类比推理 ( )使用了演绎推理 ( )使用了“三段论”但推理形式错误 ( )使用了“三段论”但小前提错误 ( )(2)判断下列推理过程是否是演
6、绎推理(请在括号中填“是”或“否”)两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则A+B=180 ( )某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班级人数超过50人 ( )由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质 ( )在数列an中，a1=1, (n2,nN*)，由此归纳出an的通项公式 ( )【解析】(1)假：不满足归纳推理的定义；假：不满足类比推理的定义；真：满足演绎推理的定义；真：使用了“三段论”但大前提中的“有些有理数”与小前提中的“有理数”不是同一概念，故不符合三段论的推理形式.假，使用了“三段论”但小前提是正确的.(2)是，使用
7、了“三段论”.不是，使用了归纳推理不是演绎推理.不是，使用了类比推理.不是,使用了归纳推理.答案：(1)假 假 真 真 假(2)是 否 否 否归纳推理【方法点睛】归纳推理的特点(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.(2)归纳推理所得结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，推广的一般性结论也会越可靠.其结论的正确性往往通过演绎推理来证明.(3)它是一种发现一般性规律的重要方法.【例1】(1)已知： 设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x)(n1且nN*),则f3(x)的表达式为，猜想fn(x)(nN*)的表达式为_.(2)(2012苏州模拟)观察式子
8、： 你可以猜出的一个一般性结论是_.(3)设 先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.【解题指南】(1)由已知条件及递推关系可推得f2(x),f3(x)及fn(x).(2)由三个等式可推第四，第五个等式，从而得第n个等式即一般结论.(3)由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值可猜想f(x)+f(1-x).【规范解答】(1)由 得故猜想答案：(2)由前三个等式得13+15+17+19=64=43, 21+23+25+27+29=125=53，所以第n个等式
9、的第一个数应为第1+2+(n-1)+1个奇数，即为共有n个奇数，即第n个等式应为n(n-1)+1+n(n-1)+3+n(n-1)+5+n(n-1)+2n-1=n3.即(n2-n+1)+(n2-n+3)+(n2+n-1)=n3.答案：(n2-n+1)+(n2-n+3)+(n2+n-1)=n3(3)同理可得：由此猜想f(x)+f(1-x)=证明：f(x)+f(1-x)=【互动探究】利用本例第(3)题中的结论计算f(-2 012)+f(-2 011)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2 013)的值.【解析】由本例第(3)题中的结论f(x)+f(1-x)= 得方法一：f(-2 012)+f(2
10、013)=f(-2 011)+f(2 012)=故f(-2 012)+f(-2 011)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2 013)方法二：令S=f(-2 012)+f(-2 011)+f(2 013)则S=f(2 013)+f(2 012)+f(-2 012)2S=4 026f(-2 012)+f(2 013)=【反思感悟】解决与归纳推理有关问题的关键点是找出其中的规律，如第(1)题中通过递推关系得f2(x),f3(x),f4(x)可观察其分子一样，分母变化的是x的系数，故可推出一般结论;第(2)题中的关键问题是第n个等式的左边第一个数是多少，通过观察可看出是第1+2+(n-1)+1个
11、奇数，从而确定其等式关系；第(3)题中规律是0+1=0+1-0,-1+2=-1+1-(-1),-2+3=-2+1-(-2),从而得x+(1-x)的联想，x+(1-x)也可看成-x+1+x，即 也成立.【变式备选】已知函数(1)分别求 的值；(2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；(3)求值：【解析】(1)同理可得(2)由(1)猜想证明：(3)由(2)可得，原式=f(1)+f(2)+ +f(3)+ +f(2 011)+ =f(1)+2 010类比推理【方法点睛】1.类比推理的步骤类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法，是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：
12、(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).2.类比的方法类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比如表所示：平面空间点线线面圆球三角形三棱锥角二面角面积体积周长表面积【例2】(2012安溪模拟)已知命题：“若数列an是等比数列，且an0，则数列 也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.【解题指南】等差数列中的和类比等比数列中的积，等差数列中的算术平均数类比等比数列中的几何
13、平均数，故本题中的等比数列的几何平均数应与等差数列的算术平均数类比.【规范解答】类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列an是等差数列，则数列 也是等差数列.证明如下：设等差数列an的公差为d,则所以数列bn是以a1为首项， 为公差的等差数列.【反思感悟】1.在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、等差与等比之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的.2.类比的关键是确定两类对象之间，某些性质的可比性与合理性.【变式训练】请用类比推理完成下表：平面空间三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个面的面积与该面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半【解析】本题由已知前两组类比可得到如下信息：三角形 的 面积 等于其 内切圆 半径与 三角形周长 的乘积的 一半类比 类比 类比 类比 类比三棱锥 的 体积 等于其 内切球 半径与 三棱锥表面积 的乘积的 三分之一故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.(本题结论可用等体积法，将三棱锥分割成四个
