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1、第四节一、泰勒 ( Taylor ) 级数 初等函数的幂级数展开 二、函数展开成幂级数 1两类问题:在收敛域内和函数求 和展 开2一、泰勒 ( Taylor ) 级数 其中( 在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项 .则在若函数的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :3为f (x) 的泰勒级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?待解决的问题 :若函数的某邻域内具有任意阶导数, 4定理1 .各阶导数, 则 f (x) 在该邻域
2、内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有定理2： 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.5二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法由泰勒级数理论可知, 求函数及其各阶导数在 x0 = 0 处的值 ;写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 判别在收敛区间(R, R) 内是否为骤如下 :展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0. 的函数展开6例1. 将函数展开成 x 的幂级数. 解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足故(
3、在0与x 之间)故得级数 7类似可推出:例2. 将展开成 x 的幂级数.8称为二项展开式 .说明： (1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关 .(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式就是代数学中的二项式定理.例3. 将函数展开成 x 的幂级数, 其中m为任意常数 . 9对应的二项展开式分别为102. 间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例4. 将函数展开成 x 的幂级数.解: 因为把 x 换成, 得将所给函数展开成 幂级数. 11例5. 将函数展开成 x 的幂级数.解: 从 0 到 x 积分, 得定义且连续, 区间为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛12例6：13例7. 将展成 x1 的幂级数. 解: 14内容小结1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 .152. 常用函数的幂级数展开式16当 m = 1 时17
