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1、2.4.3 综合法与反证法例5 如图2-8，平行四边形ABCD的两条对角线的 交点为O，过点O作一条直线分别与边AB，DC交于 点E，F. OE=OF吗？你能给出证明吗？动脑筋OE = OF .图2-8证明: ABDC，(平行四边形的定义)图2-8 1=2.(两直线平行，内错角相等) 在OAE与OCF中， 1=2，3=4，(对顶角相等)OA=OC，(平行四边形的对角线互相平分) OAEOCF.(角边角)从而OE=OF.(全等三角形的对应边相等) 做一做你能利用“平行四边形是中心对称图形，对角 线的交点是它的对称中心”这条性质，来证明上题 结论OE=OF吗？ 图2-8举 例例6 已知：如图2-9
2、，在ABC中，边AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，连接DF，FE.图2-9求证：（1）四边形BEFD是平行四边形；（2）四边形BEFD的周长等于AB+BC.图2-9（1）四边形BEFD是平行四边形； 证明:DF是ABC的一条中位线，DFBC，DF= BC.(三角形中位线定理)同理 FEAB，FE= AB 因此四边形BEFD是平行四边形.(平行四边形的定义)（2）四边形BEFD的周长等于AB+BC. 证明:由于平行四边形的对边相等， 因此四边形BEFD的周长等于做一做已知：如图2-10，在ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，连接DE，AF 求证：AF与DE互相平分 图2-1
3、0证明:连接 ， ， . ( )同理 . 因此四边形 是 .( )从而 .( ) DF，EFE，F分别为AC，BC的中点EFAB中位线定理DFACADFE平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形DE与AF互相平分平行四边形两对角线互相平分图2-10结论由此我们可以得到下面的结论： 三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.练习 1. 证明：平行四边形的两条对角线的交点到一组对边的距离相等 已知：平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，EF过O，且EFAB于E，EFCD于F. 求证：OE=OF. 证明：在OCF和OAE中，1=2， 4=3，AO=OC，OCF OAE.OE = OF
4、.2. 证明：四个角都相等的四边形是矩形. 提示: 利用四边形的内角和为360，证每一个角为90.因为每个角都为直角的四边形是矩形.说一说等腰梯形在同一底上的两个角有什么关系？ 相等. 举 例例5 证明：等腰梯形上底的中点与下底两端点的距离相等 已知：如图2-11，在等腰梯形ABCD中，上底DC的中点为E，连接EA，EB 求证：EA=EB证明: 在ADE与BCE中，图2-11AD=BC，(等腰梯形的定义)DE=CE，(已知)D=C，(等腰梯形在同一底上的两个角相等 ) ADE BCE.(边角边)从而 EA=EB.(全等三角形的对应边相等)做一做剪一个三角形纸片，用折叠的方法找出每一 条边的垂直
5、平分线，从三条折痕看出，它们是否 相交于一点？由此你能作出什么猜测？你能证明 这个猜测为真吗？证明思路是：去证三角形两条边的垂直平分 线的交点在第三条边的垂直平分线上. 举 例例6 已知：如图2-12，在ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点O 求证：点O在边AC的垂直平分线上 证明 连接OA，OB，OC 点O在线段AB的垂直平分线上，OA=OB.(垂直平分线的性质定理)同理 OC=OB. 因此 OA=OC.(等量代换)从而点O在线段AC的垂直平分线上.(到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)图2-12结论从例6立即得到: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并 且这一点到三个
6、顶点的距离相等 举 例例7 证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角不互补，那么这两条直线必相交. 已知：如图2-13，直线AB，CD被直线MN所截，同旁内角1和2不互补.求证：直线AB与CD相交. 图2-13证明 假如直线AB与CD不相交，图2-13则它们没有公共点，从而ABCD.于是1与2互补(两直线平行，同旁内角互补).这与已知条件矛盾.因此直线AB与CD相交. 结论像例7那样，先假设命题的结论不成立，然后经 过推理，得出了矛盾的结果，从而证明命题的结论 一定成立，这种证明方法称为反证法. 练习 1. 已知：在ABC中，A与B的平分线相交于点O.求证：点O在C的平分线上. 证明:过O
7、作ODAC于D， OEAB于E， OFBC于F. O在A的平分线上， OD=OE. 同理OE=OF，OD=OF， O在C的平分线上.2. 从第1题中，你能得出什么结论呢？ 答：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.1. 已知：在ABC中，A与B的平分线相交于点O.求证：点O在C的平分线上. 3. 证明：两条直线被第三条直线所截，如果同 位角不相等，那么这两条直线必相交 已知：AB，CD被直线MN所截，同位角1，2不相等. 求证：AB与CD相交. 证明：假如直线AB与CD不相交，则它们无公共点，从而ABCD，于是1=2，与已知矛盾.因此AB与CD必相交.中考 试题例1 如图
8、1，已知：在ABC中，AB=AC，在AB上取点D，又在AC 延长线上取点E，使CE=BD，连接DE交BC于G点.求证：DG=GE. 解过点D作DFAC交BC于F点. DFAC, DFB=ACB. 又AB=AC,B=ACB. B=DFB. DF=DB. BD=CE, DF=CE. DFCE. DFG=ECG.在DFG和ECG中， DFGECG(AAS). DG=GE.DGF =EGC， DFG =ECG,DF = EC,中考 试题例2 如图，已知：AD=BC，AB=DC，DE=BF.求证：BE=DF.解连接BD，在ABD与CBD中， ABDCBD(SSS). A=C.AD=BC,DE=BF,AD
9、+DE=BC+BF.即AE=CF.在ABE与CDF中， ABECDF(SAS).BE=DF.AD = CB， AB = CD, DB = BD,AE = CF，A = C, AB = CD,中考 试题例3 如图，点C、D在ABE的边BE上，BC=ED， AB=AE.求证：AC=AD.解过点A作AFBE,垂足为点F.AB=AE，BF=EF. 又BC=ED，CF=DF,AF垂直平分CD， AC=AD.课堂小结找出一个例子，它符合命题的条件，但它不符 合命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程 叫作举反例从命题的条件出发，运用定义、公理和已证明过 的定理，经过推理，证明命题的结论成立，这种证明方 法称为综合法先假设命题的结论不成立，然后经过推理，得出 了矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证 明方法称为反证法习题2.4（B）第1题作业
