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1、2.4 常用的离散格式在使用有限体积法建立离散方程时，很重要 的一步是将控制体积界面上的物理量及其导数通 过节点物理量插值求出。引入插值方式的目的就是为了建立离散方程 ，不同的插值方式对应于不同的离散结果。插值方式常称为离散格式。1离散格式n假设速度场已知，则为求解离散方程，需计算广义未 知量在边界e和w处的值。n为完成这一任务，必须决定界面物理量如何通过节点 物理量的插值表示。n各种不同的插值方法就构成了不同的离散格式。n中心差分格式n一阶迎风格式n混合格式n指数格式n乘方格式22.4.1术语的约定n对离散格式的讨论以一维稳态对流扩散方程为例，不 涉及瞬态项。n定义两个新的物理量：nF：通过
2、界面上单位面积的对流质量通量，简称对流质量流 量；nD：界面的扩散传导性n在此基础上定义一个非常重要的参数Peclet数3Peclet数(佩克莱数 )n1976年Roache提出，网格或单元Peclet数可以 用来度量某点处的对流和扩散的强度比例。n从物理意义来说，Peclet数表示的是对流与扩散 强度之比。而Re雷诺数表示作用于流体微团的 惯性力与粘性力之比。Pr数是动量扩散厚度与 热量扩散厚度之比。(粘性与导热性之比）n佩克莱特数(Peclet)是普朗特数(Prandtl)与雷诺 数(Reynolds)的乘积，实际上反映了惯性力与紊 动强度的比值。4PeE(x)Pe ECentral di
3、fferencing scheme 中心差分格式nWe determine the value of at the face by linear interpolation between the cell centered values.就是界 面上的物理量采用线性插值公式来计算。n具有二阶精度，扩散占优时计算具有较高精度。但流 动为强对流时，计算的收敛性和精度较差。interpolated value5中心差分格式的特点及适用性nPe小于2时，中心差分格式的计算结果与精确 解基本吻合。nPe大于2时，数值解完全失去物理意义。n原因：离散方程系数出现负值，负的系数会导致 物理上不真实的解。n
4、解决办法：将计算网格加密，使网格间距变小， 降低Pe数的大小。（计算量随之增大）n基于此限制，中心差分格式不能作为对于一般 流动问题的离散格式，需创建其它更合适的格 式（对纯扩散稳态，如热传导是适用的）。6对流扩散方程的精确解7精确解随Pe数的变化 （Pe0纯扩散，Pe增大对流增强）8具体算例 （不同计算工况意味着不同Pe数）9第一种工况Pe=0.2n尽管网格粗糙，但数值解与精确解非常接近。10第二种工况Pe=5n数值解在精确解周围振荡，计算精度不可接受。n离散方程中系数有负值。11第三种工况（加密网格Pe=1.25）12First order upwind scheme 界面上的未知量恒取上
5、游节点的值PeE(x)PeEFlow directionnThis is the simplest numerical scheme. It is the method that we used earlier in the discretization example.nWe assume that the value of at the face is the same as the cell centered value in the cell upstream of the face.nThe main advantages are that it is easy to impleme
6、nt and that it results in very stable calculations, but it also very diffusive. Gradients in the flow field tend to be smeared out, as we will show later.nThis is often the best scheme to start calculations with.interpolated value在确定界面物理量 时考虑了流动方向13一阶迎风格式的数学描述及特点n考虑了流动方向影响n具有一阶截差nunconditionally sta
7、ble (no oscillations)（任何条件下 都不会引起解的振荡，离散方程系数总是大于零）n不足：夸大了扩散项的影响，numerically diffusive14central differencecentral difference scheme:scheme:upwind scheme:upwind scheme:1516171819混合格式nCentral differencing scheme is more accurate than the first order upwind scheme, but it leads to oscillations in the so
8、lution or divergence if the local Peclet number is larger than 2. nIt is common to then switch to first order upwind in cells where Pe2. Such an approach is called a hybrid scheme.n根据流体的Pe数在中心差分格式和迎风格式之间进行 切换，综合两种格式的共同优点。n混合格式在CFD软件中广为采纳，是非常实用的格式 ，缺点是只有一阶精度。20指数格式n根据一维、稳态、无源的对流扩散方程的精 确解建立的一种离散格式。n指数
9、格式保证对任何佩克赖特数以及任何数 量的网格点均可以得到精确解n缺点：n指数运算是费时的n对于二维或三维问题，以及源项不为零的情况， 这种离散方案是不准确的。21nThis is based on the analytical solution of the one-dimensional convection-diffusion equation.nThe face value is determined from an exponential profile through the cell values. The exponential profile is approximated b
10、y the following power law equation:nPe is again the Peclet number.nFor Pe10, diffusion is ignored and first order upwind is used.Power law scheme乘方格式PeE(x)PeExLinterpolated value参考精确解所做的近似，与指数格 式的精度比较相近但比指数格式要 省时 与混合格式具有类似性质，可用作 混合格式的替代格式。22假扩散在文献中，假扩散，人工粘性， 数值粘性常常是作为同义词使用的。n假扩散是对流项离散过程中所引入的一个重要误差。
11、由于对流扩散方程中一阶导数项的离散格式的截断 误差小于二阶而引起较大数值计算误差的现象称为假 扩散。在一个离散格式中，假扩散的存在会使数值解 的结果偏离真解的程度加剧。假扩散系数越大，偏离 得越严重。以上所指的假扩散是由于截断误差而引起 的，也是假扩散这一概念的最初含义。现在，在计算 传热学领域中，这一概念的含义有所扩大。能引起较 大的数值计算误差的原因有三个：1.非稳态项或对流 项采用一阶截差的格式；2.流动方向与网格线呈倾斜 交叉（多维问题）；3.建立差分格式时没有考虑到非 常数的源项影响。现在一般把由这三种原因而引起的 数值计算误差都归在假扩散的名称下。23低阶格式的假扩散特性n迎风格式
12、,指数格式,混合格式及乘方格式等 一阶格式应用于实际问题时都可能引起较严 重的假扩散,这在HVAC领域的高大空间流体 流动及传热计算中尤为明显. 因此,为了有效地克服或减轻假扩散所带来的 计算误差,空间导数应当采用二阶或更高阶的 格式(如QUICK格式,二阶迎风差分格式等).24Accuracy of numerical schemesnEach of the previously discussed numerical schemes assumes some shape of the function . These functions can be approximated by Tay
13、lor series polynomials:nThe first order upwind scheme only uses the constant and ignores the first derivative and consecutive terms. This scheme is therefore considered first order accurate.nFor high Peclet numbers the power law scheme reduces to the first order upwind scheme, so it is also consider
14、ed first order accurate.nThe central differencing scheme and second order upwind scheme do include the first order derivative, but ignore the second order derivative. These schemes are therefore considered second order accurate. QUICK does take the second order derivative into account, but ignores t
15、he third order derivative. This is then considered third order accurate.25Hot fluidCold fluidT = 100CT = 0CDiffusion set to zero k=0Accuracy and false diffusion (1)nFalse diffusion is numerically introduced diffusion and arises in convection dominated flows, i.e. high Pe number flows.nConsider the p
16、roblem below. If there is no false diffusion, the temperature will be exactly 100 C everywhere above the diagonal and exactly 0 C everywhere below the diagonal.nFalse diffusion will occur due to the oblique flow direction and non-zero gradient of temperature in the direction normal to the flow.nGrid refinement coupled with a higher -order interpolation scheme will minimize the false diffusion as shown on the next slide.假设热传导
