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1、12.2 周期函数分解为傅里叶 级数 一、周期函数f(t)=f(t+kT)T为周期函数f(t)的周期， k=0，1，2， 如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就 能展开成一个收敛的傅里叶级数。 电路中的非正弦周期量都能满足这个条件。二、傅里叶级数的两种形式1、第一种形式式中：K=1，2，3系数的计算公式2、第二种形式A0称为周期函数的恒定分量（或直流分量）； A1mcos(1t+1)称为1次谐波（或基波分量）， 其周期或频率与原周期函数相同； 其他各项统称为高次谐波， 即2次、3次、4次、3、两种形式系数之间的关系第一种形式第二种形式A0=a0ak=Akmcoskbk=- Akmsink4、
2、傅里叶分解式的数学、电气意义+-傅氏分解A0U1U2 +-u(t)u(t)分解后的电源相当于无限个电压源串联 对于电路分析应用的方法是 叠加定理三、f(t)的频谱傅里叶级数虽然详尽而又准确地表达了周期 函数分解的结果，但不很直观。 为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包 含哪些频率分量以及各分量所占“比重”， 用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段， 按频率的高低顺序把它们依次排列起来， 得到的图形称为f(t)的频谱。1、幅度频谱各次谐波的振幅用相应线段依次排列。2、相位频谱 把各次谐波的初相用相应线段依次排列。OAkmk14131 211例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱Of(t)
3、t 1tEm-Em2T解：f(t)在第一个周期内的表达式为f(t) =Em-Em根据公式计算系数0Of(t)t 1tEm-Em2TOf(t)t 1tEm-Em2T=0当k为偶数时： cos(k)=1 bk=0当k为奇数时： cos(k)=-1代入求得当k为偶数时： cos(k)=1 bk=0当k为奇数时： cos(k)=-1Of(t)Em-Em1t图形曲线分析:Of(t)Em-Em1t取到11次谐波时合成的曲线比较两个图可见，谐波项数取得越多，合成 曲线就越接近于原来的波形。Of(t)t 1tEm-Em2Tf(t) =Em-Em假设 Em=1，1t=/2，得取到11次谐波时，结果为0.95;取
4、到13次谐波时，结 果为1.05;取到35次谐波时，结果为0.98,误差为2%矩形信号f(t)的频谱OAkmk171513113、频谱与非正弦信号特征的关系 波形越接近正弦波， 谐波成分越少； f(t)=10cos(314t+30)OAkmk111、偶函数 f(t)=f(-t)纵轴对称的性质f(t)Otf(t)Ot四、非正弦函数波形特征与展开式的系数之间 的关系可以证明： bk=01、偶函数 纵轴对称的性质 f(t)=f(-t)展开式中只含有余弦项分量和直流分量f(t)=-f(-t) 原点对称的性质f(t)Otf(t)Ot2、奇函数可以证明： a0=0, ak=0原点对称的性质 f(t)=-f
5、(-t)2、奇函数展开式中只含有正弦项分量满足 f(t)=-f(t+T/2),称为奇谐波函数Of(t)t T3、奇谐波函数:f(t)=-f(t+T/2),叫做 镜对称的性质判断:利用镜对称的性质f(t)= - f(t+T/2)3、奇谐波函数可以证明： a2k =b2k =0f(t)=展开式中只含有奇次谐波分量f(t)Ot判断下面波形的展开式特点f(t)是奇函数 展开式中只含有正弦分量 f(t)又是奇谐波函数 展开式中只含有奇次谐波f(t)=系数Akm与计时起点无关（但k是有关的）， 这是因为构成非正弦周期函数的各次谐波的振幅 以及各次谐波对该函数波形的相对位置总是一定的， 并不会因计时起点的变
6、动而变动； 因此，计时起点的变动只能使各次谐波的初相作 相应地改变。 由于系数ak和bk与初相k有关，所以它们也随计 时起点的改变而改变。4、系数和计时起点的关系由于系数ak和bk与计时起点的选择有关，所以 函数是否为奇函数或偶函数可能与计时起点的选择 有关。但是，函数是否为奇谐波函数却与计时起点 无关。因此适当选择计时起点有时会使函数的分解 简化。4、系数和计时起点的关系例：已知某信号半周期的波形，在下列不同条件下 画出整个周期的波形Of(t)t1、只含有余弦分量 2、只含有正弦分量 3、只含有奇次谐波分量Of(t)t1、只含有余弦分量f(t)应是偶函数 关于纵轴对称Of(t)t2、只含有正弦分量f(t)应是奇函数 关于原点对称Of(t)t3、只含有奇次谐波分量f(t)应是奇谐波函数 镜象对称
