《用集合论深谈加减消去消去消去消去法与加减不消》由会员分享，可在线阅读，更多相关《用集合论深谈加减消去消去消去消去法与加减不消（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、用集合論深談加減消去消去消去消去法與加減不消去不消去不消去不消去法 的真正含意與應用 第一頁 定義: 方程式0),(=yxf的解集合為 A,方程式0),(=yxg的解集合為 B 則聯立方程式( , ) 0( , ) 0f x yg x y=的解集合為BA 超級大定理:方程式0),(=yxf的解集合為 A,方程式0),(=yxg的解集合為 B 且),(,),(21yxdyxd 為任意代數式且0),(),(),(),(21=+yxgyxdyxfyxd的解集合為 C 則必CBA 亦即方程式0),(),(),(),(21=+yxgyxdyxfyxd恒過兩圖形0),(=yxf與0),(=yxg 之所有交
2、點 pf:BAP),(AP),(且BP),(0),(=f且0),(=g 0),(),(),(),(21=+gdfd成立 ( ,)P 代入0),(),(),(),(21=+yxgyxdyxfyxd成立 ( ,)PC 所以CBA 單單單單元元元元一一一一：加減消去消去消去消去法 例題一：解聯立方程式32524xyx y=+ =說明：方程式325xy=的解集合為A,方程式24xy+=的解集合為B 且1(325)2 (24)0xyxy+=的解集合為C且ABC 13 77130xx=為一條鉛直線且其解集合為C且 ABC 又 13 7325xyx=只有一個交點,其坐標為132 0077(,)(, )xy=
3、132 77( , )AC= 由 ABC且132 77( , )ABAABAC= 則必 AB=或132 77(, ) 由132 77( , )A且132 77( , )B 則必132 77( , )AB則必132 77( , )AB= 例題二：解聯立方程式222(3)5y xxy=+=NOTE：00(,)xy為交點坐標則必 00,xyR 說明：方程式2yx=的解集合為2 000000(,)|,AxyxyRyx= 方程式22(3)5xy+=的解集合為22 000000(,)|,(3)5BxyxyRxy=+= 聯立方程式222(3)5y xxy=+=的解集合即為 AB 方程式222()yx=的解集
4、合為 A且 AA因為2224()yxx=包含2yx=與2yx= 且22421(3)51()0xyxy+=的解集合為C且 ABABC 則必222(3)()5=0xx+42640xxx+=22(1) (24)0xxx+= 22(1) (1)30xx+= 則必1x = 為一條鉛直線且其解集合為00000(,)|,1CxyxyR x=且 ABC 又21y xx=只有一個交點,其坐標為00(,)(1,1)xy=(1,1)AC= 由 ABC且(1,1)ABAABAC=則必 AB=或(1,1) 由(1,1)A且(1,1)B則必(1,1)(1,1)ABAB= 用集合論深談加減消去消去消去消去法與加減不消去不消
5、去不消去不消去法 的真正含意與應用 第二頁 例題三：解聯立方程式222244(6)1xyxy+=+=解：2244.xy+=的解(點)集合設為1T ,22(6)1.xy+=的解(點)集合設為2T 本題即求12TT 由2244xy+=則必22044011xyy 由2244xy+=則必2220404022yyxx 設滿足22, 11xy 的解(點)集合為3T (圖形為長方形區域)且13TT 由22221(44)1(6)1)0xyxy+ +=恒過12,T T 所有交點 2312390yy+=24130yy+=217217yy= = +或217y = 設217y = +的點集合為1L 且217y = 的
6、點集合為2L 則必1212()()TTLL 明顯123()LLT= 再由1213()TTTT 及1212()()TTLL 則必1231212()()TTTLLTT=即聯立不等式222244(6)1xyxy+=+=無解 例題四：解聯立方程式222244(6)25xyxy+=+=解：2244.xy+=的解(點)集合為1T 22(6)25.xy+=的解(點)集合為2T 本題即求12TT 由22221(44)1(6)25)0xyxy+ += 2312150yy+=2450yy+=5y= 或1y = 恒過12,T T 所有交點 設5y = 的點集合為1L 且1y = 的點集合為2L 則必1212()()
7、TTLL且121TTT 可推得121211121()()()()TTLLTLTLT=(0,1)(0,1)= 則必12()(0,1)TT則必12()TT=或(0,1) 又2(0,1)T且1(0,1)T則必12(0,1)TT因此12(0,1)TT= 例題五：解聯立方程式222244(6)40xyxy+=+=解：2244.xy+=的解(點)集合為1T 22(6)40.xy+=的解(點)集合為2T 本題即求12TT 由22221(44)1(6)40)0xyxy+ += 23120yy+=240yy+=4y= 或0y = 設4y = 的點集合為1L 且0y =的點集合為2L 12LL恒過12,T T 所
8、有交點 則必1212()()TTLL且121TTT 可推得121211121()()()()TTLLTLTLT=(2,0),( 2,0)(2,0),( 2,0)= 又22(2,0),( 2,0)TT且11(2,0),( 2,0)TT則必1212(2,0),( 2,0)TTTT 因此12(2,0),( 2,0)TT= 用集合論深談加減消去消去消去消去法與加減不消去不消去不消去不消去法 的真正含意與應用 第三頁 例題六：解聯立方程式1239 35711 471030xyz xyz xyz+=+= +=解：由1239xyz+=的解(點)集合為1T 35711xyz+=的解(點)集合為2T 47103
9、0xyz+=的解(點)集合為3T 本題即求123TTT 由1(1239)1(35711)1(471030)0xyzxyzxyz+ += 恒過123TTT所有交點 00010xyz+= 的解(點)集合為4T=則必 1234123TTTTTTT= 例題七：解聯立方程式1239 35711 471020xyz xyz xyz+=+= +=解：由1239xyz+=的解(點)集合為1T 35711xyz+=的解(點)集合為2T 471020xyz+=的解(點)集合為3T 本題即求123TTT 由1(1239)1(35711)0xyzxyz+=恒過12TT所有交點 4710200xyz+=的解(點)集合為
10、43TT=且1243TTTT= 12312312()TTTTTTTT=本題即求12?TT= 再重新來過：3(1239)1(35711)0xyzxyz+ +=恒過12TT所有交點 216yz+=的解(點)集合為5T 且125TTT 令5( ,162 , )|,Tst tsR tR= 先求15TT 即解方程組1239216xyzyz+=+=將,162 ,xs yt zt=代入1239xyz+= 得13243923sttst+= 得15(23,162 , )|TTtt ttR= 其實15TT為空間中的一直線L且其參數式為23 :162 , 0 1xt Lyt tR zt=+= = +即15TTL=
11、由125TTT且121121512TTTTTTTLTTL=(甲) 將直線L上的點代入2:35711Txyz+=求交點 則3(23)5(162 )711000tttt+=+= 即L上的點代入2:35711Txyz+=通通成立 即2LT且1LT(因為15TTL=)則必12LTT(乙) 由甲乙知12LTT= 用集合論深談加減消去消去消去消去法與加減不消去不消去不消去不消去法 的真正含意與應用 第四頁 單元單元單元單元二二二二：加減不消不消不消不消去去去去法 例題一：解聯立方程式192713211327xyxy+=+=解：由192713xy+=的解(點)集合為1T 211327xy+=的解(點)集合為
12、2T本題即求12TT 由1(192713)1(211327)0xyxy+ +=恒過12,T T所有交點 4040401xyxy+=+=的解(點)集合為3T則必123TTT 解聯立不等式1927131xyx y+=+ =本題即求13TT則必1213TTTT 由19 (1)1(192713)0xyxy+ +=恒過13,T T所有交點 3 4860yy =的解(點)集合為4T則必134TTT 又聯立不等式 3 41x yy+ =明顯交於點73 44,xy=即73 4344( ,)TT= 由12134TTTTT則必73 12133444( ,)TTTTTT=則必12TT=或73 44( ,)又73 4
13、4( ,)1T且7373 24444( ,)( ,)T12TT則必73 1244( ,)TT= 例題二：解聯立方程式192713182612xyxy+=+=解：由192713xy+=的解(點)集合為1T 182612xy+=的解(點)集合為2T本題即求12TT 由1(192713)1(182612)0xyxy+ +=恒過12,T T所有交點 1xy+=的解(點)集合為3T則必123TTT 解聯立方程式1927131xyx y+=+ =本題即求13TT則必1213TTTT 由19 (1)1(192713)0xyxy+ +=恒過13,T T所有交點 3 4860yy =的解(點)集合為4T則必134TTT 又聯立方程式 3 41x yy+ =明顯交於點73 44,xy=即73 4344( ,)TT= 由12134TTTTT則必73 12133444( ,)TTTTTT=又73 44( ,)12TT 則必73 1244( ,)TT= 例題三：222410xyxy+ = 與222270xyxy+=之公共弦所在直線方程式為【 】。 解：由222410xyxy+ =的解(點)集合為1T 222270xyxy+=的解(點)集合為2T 由22221(241)1(227)0xyxyxyxy+=恒過12,T T所有交點 4280240xyxy+=+=過
