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1、本节将以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。 了解怎样确定定态的能量E，从而看出能量量子化是薛定谔 方程的自然结果。已知粒子所处的势场为：2.5一维方势阱2.5.1一维无限深方势阱粒子在势阱内势能为零。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受 极大的斥力, 称为一维无限深方势阱。xx = -ax = aU0(x)0其定态薛定谔方程为：2.5一维方势阱令：当 时，根据波函数的连续性和有限性 条件得：2.5一维方势阱则薛定谔方程可简写为：它的解是：利用边界条件 及 ，得2.5一维方势阱解是：带入（2.5.1）得体系的能级：xOaE2.5一维方势阱显然，一维无限深方势阱的能谱是分立谱，这个分 离的能谱
2、就是量子化了的能级。2.5一维方势阱u由图可以看出，在不同能级上粒子出现的 概率密度是不同的。在基态，粒子出现的概 率在阱区中部为最大，而越靠近阱壁概率越 小，阱壁上概率为零。在激发态，粒子在阱 内出现的概率是起伏变化的，随着量子数 的增大，起伏变化越来频繁。u而在经典物理中，粒子在阱内各处出现的 概率是相等的。u由图可以推断，只有当量子数 很大时，粒 子在阱内各处的概率才趋于均匀。粒子的最低能量状态称为基态，就是 的状态，基态能量为此本征值能量称为零点能，是束缚在无限深方 势阱内粒子所具有的最低能量。2.5一维方势阱归一化以后的波函数为：2.5一维方势阱我们把粒子只能束缚在空间的有限区域，在
3、 无穷远处波函数为零的状态称为束缚态2.5一维方势阱2.5.2一维有限深方势阱求解势场 为的薛定谔方程。讨论 的情况：在 区，相应的薛定谔方 程是：00-a/2a/2x2.5一维方势阱在 时， 有界的解是：在 区，薛定谔方程是：2.5一维方势阱其解为1.一、在 区，取 ，解取有偶 宇称的情况利用 处波函数对数微商的连续条件都可得引入2.5一维方势阱可将（2.5.3）是改写为另外，又（2.5.1）和（2.5.2）有可得联立（2.5.5）-（2.5.6）式，解出 ， 再由（2.5.4）可给出能谱。2.5一维方势阱1. 二、在 区，取 ，解取有奇 宇称的情况同样，利用波函数对数微商在 连续条 件得：
4、同样，联立（2.5.6）-（2.5.7）式，解出 ，再由（2.5.4）可给出能谱。（2.5.5）-（2.5.7）都是超越方程，可用图解 法求出能谱。2.5一维方势阱在 平面 中分别就（ 2.5.5）与（ 2.5.6）式作相 应的曲线，曲 线的交点表示 具有偶宇称是 相应的能谱。 如右图。由以上图可见，对于偶宇称态，由于曲线 经过原点，因此无论 多么小，两条曲线总有交点 ，这意味着至少有一个束缚态，且相应的宇称为偶。2.5一维方势阱同样，作（ 2.5.6）和（ 2.5.7）式相应 曲线，他们的 交点表示波函 数其宇称时相 应的能谱。所 得结果见右图 。由以上图可见，对于奇宇称态，当且仅当 时，即当 时，曲线才有交点，才出现奇宇称态解。2.5一维方势阱显然，一维无限深势阱的结果可作为一维方 势阱的特例得出。当 时，可得这正是阱宽为 的一维无限深势阱 的能谱公式。
