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1、本节将以一维定态为例,求解已知势场的定态薛定谔方程。 了解怎样确定定态的能量E,从而看出能量量子化是薛定谔 方程的自然结果。已知粒子所处的势场为:2.5一维方势阱2.5.1一维无限深方势阱粒子在势阱内势能为零。在阱外势能为无穷大,在阱壁上受 极大的斥力, 称为一维无限深方势阱。xx = -ax = aU0(x)0其定态薛定谔方程为:2.5一维方势阱令:当 时,根据波函数的连续性和有限性 条件得:2.5一维方势阱则薛定谔方程可简写为:它的解是:利用边界条件 及 ,得2.5一维方势阱解是:带入(2.5.1)得体系的能级:xOaE2.5一维方势阱显然,一维无限深方势阱的能谱是分立谱,这个分 离的能谱
2、就是量子化了的能级。2.5一维方势阱u由图可以看出,在不同能级上粒子出现的 概率密度是不同的。在基态,粒子出现的概 率在阱区中部为最大,而越靠近阱壁概率越 小,阱壁上概率为零。在激发态,粒子在阱 内出现的概率是起伏变化的,随着量子数 的增大,起伏变化越来频繁。u而在经典物理中,粒子在阱内各处出现的 概率是相等的。u由图可以推断,只有当量子数 很大时,粒 子在阱内各处的概率才趋于均匀。粒子的最低能量状态称为基态,就是 的状态,基态能量为此本征值能量称为零点能,是束缚在无限深方 势阱内粒子所具有的最低能量。2.5一维方势阱归一化以后的波函数为:2.5一维方势阱我们把粒子只能束缚在空间的有限区域,在
3、 无穷远处波函数为零的状态称为束缚态2.5一维方势阱2.5.2一维有限深方势阱求解势场 为的薛定谔方程。讨论 的情况:在 区,相应的薛定谔方 程是:00-a/2a/2x2.5一维方势阱在 时, 有界的解是:在 区,薛定谔方程是:2.5一维方势阱其解为1.一、在 区,取 ,解取有偶 宇称的情况利用 处波函数对数微商的连续条件都可得引入2.5一维方势阱可将(2.5.3)是改写为另外,又(2.5.1)和(2.5.2)有可得联立(2.5.5)-(2.5.6)式,解出 , 再由(2.5.4)可给出能谱。2.5一维方势阱1. 二、在 区,取 ,解取有奇 宇称的情况同样,利用波函数对数微商在 连续条 件得:
4、同样,联立(2.5.6)-(2.5.7)式,解出 ,再由(2.5.4)可给出能谱。(2.5.5)-(2.5.7)都是超越方程,可用图解 法求出能谱。2.5一维方势阱在 平面 中分别就( 2.5.5)与( 2.5.6)式作相 应的曲线,曲 线的交点表示 具有偶宇称是 相应的能谱。 如右图。由以上图可见,对于偶宇称态,由于曲线 经过原点,因此无论 多么小,两条曲线总有交点 ,这意味着至少有一个束缚态,且相应的宇称为偶。2.5一维方势阱同样,作( 2.5.6)和( 2.5.7)式相应 曲线,他们的 交点表示波函 数其宇称时相 应的能谱。所 得结果见右图 。由以上图可见,对于奇宇称态,当且仅当 时,即当 时,曲线才有交点,才出现奇宇称态解。2.5一维方势阱显然,一维无限深势阱的结果可作为一维方 势阱的特例得出。当 时,可得这正是阱宽为 的一维无限深势阱 的能谱公式。