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1、CHEMISTRY（THE CHINESE CHEM. SOC., TAIPEI）March. 2006 Vol. 64, No.1, pp.147160 原創性文 三角函與空間座標轉換解析富烯 C60 米碳球結構 孫光中1 曾毓慧1 孫光明2 1明技術學院粧品系 2高 雄師範大學物系 摘要：本研究基於好奇，並假設富烯 C60碳球分子是在想的氣相(Gas Phase)態中，單獨穩定的保持其 Ih點對稱群情況下，以純粹地三角函和空間座標轉換，解析富烯 C60米碳球結構，其 r1(五-角形鄰邊)、r2(-角形鄰邊)與球半徑 Rb間之關係，並確無誤的求取其 3D 體碳球上的每一點空間座標。此外，意外
2、地發現經由此項工作，可以驗證同的實驗或計算所獲致的鍵長或球半徑之結果，其確與誤差性。 關鍵字：三角函、空間座標轉換、富烯、C60 前 言 自 1985 Kroto, H. W.等人發現富烯 C60米碳 球(圖一)1以，相繼地許多各個域的科學家從事富 烯 C60相關的研究和探討。之後，由於 1990 Krtschmer, W. 等人用簡單的電弧法，大製備 富烯 C60後，2全球掀起一片研究富烯域的熱 潮。除實驗上探討富烯 C60外，上的計算，是 與實驗相輔相成，並提供實驗上一個指引的方向。但 管是實驗亦或研究，至今尚無一篇文獻陳述到， 用簡單的三角函與空間座標轉換(Trigonometric F
3、unction And Space Geometric Transformations)解析富 烯 C60米碳球結構。本研究當初即是基於好奇，而 嘗試用簡單的三角函與空間座標轉換解析富烯 C60米碳球結構，求取其 3D 體球體表面上之各點座標，卻意外地發現一些鮮為人知的有趣事實。當然， 要以簡單的三角函與空間座標轉換，解析 3D 體的 富烯 C60米碳球結構，除必備的基本模型製作 可或缺外，建議有興趣的者當從較簡，但與富 烯 C60米碳球同屬於 Ih點對稱群之 C20H20十二面體 (Dodecahedron)結構著手。3-5而下手時，則建議以穿過 C3轉軸之球中心為啟始點，如圖二(a)，而非
4、以穿過 C5 轉軸之球中心為起始點，如圖二(b)，雖然二者之球心為 同一點，但前者所求出者為屬於 Ih點對稱群之 C20H20十 二面體結構，而後者計算所得之各點座標，卻極在代 入一般程式運算時(如 Gaussian Program)，6顯現出 D5d 點對稱群之十二面體結構。而興趣濃厚者，可以再針 對被視為最小富球烯之四面體型(Td)C28分子著手，7-9 如圖三所示。而有如上的習，再製作、並以三角 函與空間座標轉換求取富烯 C60之米碳球結構的 各個座標，就駕輕就熟。 148 中華民國九十五第十四卷第一期 圖一 (a)富烯 C60分子結構(沿 C5轉軸觀測；Ih點對稱 群) 圖一 (b)富
5、烯 C60分子結構(沿 C3轉軸觀測 ； Ih點對稱 群) 計算方法與過程 (一) r1、r2與 Rb間相互關係之公式推導 首先，我們先製作出屬於 Ih點對稱群之富烯 C60 米碳球模型，而由模型中我們可以觀察出富烯 C60 米碳球具種鍵長，假設其一為 r1(五-角形鄰邊)、 另一為 r2(-角形鄰邊)(圖四(a)，而 Rb代表 C60之球 半徑(球中心至各點之球距)。基於 C60之對稱性，我們只 需將原八層共 60 個的碳原子座標，取其一半四層共 30 個原子座標即可，剩餘的另四層碳原子座標，可用 C60具有心對稱(i)，而全部求得。(圖四(b)所示) 圖二 (a)米碳球C20H20分子結構
6、(沿C3轉軸觀測 ； 20H 未呈現) 圖二 (b)米碳球C20H20分子結構(沿C5轉軸觀測 ； 20H 未呈現) 如圖四(a)所示，米碳球 C60第一層至第四層 (C1 至 C30)之結構圖(z 軸紙平面)，我們將逐層求取。而基本 上我們只需求取每一層面的一個碳原子座標 ， 同一層的其 餘座標，即可用空間座標轉換求得。但在求取各層座標 前，我們必須先將 r1、r2與 Rb間的相互關係推導出，方 可藉由其彼此間的關係推衍整個球烯各層的座標 。 慶幸地 是，由於 C60的高對稱性，r1、r2與 Rb間的相互關係，我 們藉由第一與第二層如下的推導，即可獲得。 首先假設： r1：五-角形鄰邊 r2
7、：-角形鄰邊 re：C6C7 或 C6C10 鍵距 (如圖五) Rb ：C60之球半徑(球中心至各點之球距) (Rb r1與 r2之關係函) 中華民國九十五第十四卷第一期 149 圖三 (a)富烯 C28分子結構(沿 C3轉軸觀測；Td點對 稱群) 圖三 (b)富烯 C28分子結構(沿 C2轉軸觀測；Td點對 稱群) 閱圖四、五，第一層(C1C5)；目前先只求取 C1座標， 藉由餘弦定 a2b2c22bc cosA 公式， 得 r12 y12y122 y1 y1 cos72 )72cos1(2y1 1=r 2 12 1yRzb= (如圖明) (z1z2z3z4z5) x1 0 閱圖四、五，第二
8、層(C6C10)；目前先只求取 C6座標 re r12r2 sin30 r1r2 (如圖五明) re2 (r1r2)2 y62y622 y6 y6 cos72 圖四 (a)富烯C60分子第一層至第四層(C1至C30)結構 之座標(z 軸紙平面) 圖四 (b)富烯 C60分子第五至第八(C31至 C60)結構之 座標(z 軸紙平面) 圖五 富烯 C60分子第一層與第二層間 re與 r1、 r2之關 係 150 中華民國九十五第十四卷第一期 圖 富烯 C60分子座標中之 z1、z6與球半徑 Rb之關 係圖 圖七 富烯 C60分子座標中之 z11、x11、y11與球半徑 Rb之關係圖 )72cos1
9、 (2)(21 6+=rry 2 62 6yRzb= (如圖明) (z6 z7 z8 z9 z10) x6 0 因 d(C1C6) r2 r22 (y6y1)2 (z 1z6)2 (將 y 6、y1分別代入) r222(1cos72) (z1z6)2 (z1z6)2 r22(12cos72)2(1cos72) z1z6 (12cos72)2(1cos72)1/2 r2 622 22 62 1)72cos1 (272cos212)72cos1 (2)72cos21 (zrrzz+=將先前由第一層求得的2 12 1yRzb=與2 62 6yRzb=分別代入，則得 )()72cos1 (2)72co
10、s21 (2)72cos1 (2)72cos21 ()(2 62 22 22 622 12yRrryRyRbbb+=最後可求得 C60之球半徑 Rb與 r1(五-五角形鄰邊)與 r2( -角形鄰邊)之重要關係如下： )72cos1(2)( )72cos21)(72cos1(2)72cos(2 212 212 +=rrrrRb開根號化簡，得 )72cos21(22)72cos1(2212 22 1 +=rrrrRb(1) 由第(1)式，我們已知 r1與 r2之(C-C)鍵距，則代入式 即可求出米碳球 C60之球半徑 。 如由 NMR 光譜得知其 r1與 r2之(C-C)鍵距分別為 1.450.0
11、15 與 1.40 0.015，11 如表一，取 r1= 1.45 與 r2 = 1.40 代入，得 Rb=3.5485 (即球直徑為 7.097 )。如取自 X-ray (C60-Osmylated)光譜得知其 r1與 r2之(C-C)鍵距分別為 1.432 與 1.388 ，14代入(1)式，得 Rb=3.5092 (即球直 徑為7.0184) 。 而此馬上可以與文獻上陳述之富烯 C60 分子之球直徑(Diameter)相互驗證，而又因為本方程式， 係假設富烯 C60分子存於氣相中，且具備完美的 Ih點 對稱群，再經由純學推導而得，故其確性較實驗上 因人為或機具設備的誤差所獲致的據，會勝一
12、籌。 原因主要在於：待測的富烯米碳球 C60分子於常溫 下之快速地旋轉與振動所致，而化學家為於測該 C60分子結構體，因而想盡辦法在其球面上接上像“兔耳 朵”的歧枝，其較為 “凝固”動，致其結構會些微的 扭曲(Distortion)，以致於其球烯整體骨架再是標準的 Ih點對稱群之結構體。如上述，取自 X-ray 光譜的富 烯 C60分子，事實上是在 C60分子上頭接像兔耳朵之 (C60)OsO4 (4-tert-butylpyridine)2加合物(Adduct Compound)，以避免球體過速的振動，而於 NMR 等 儀器檢測。相地對，該球體因加合物的接上，致其整體 球烯的結構呈現或多或少
13、的扭曲。 中華民國九十五第十四卷第一期 151 另外，我們假設 r1 r2 r0 ，意即，假設富 烯 C60分子只具備一種鍵長，則 0)72cos21(272cos5rRb= 2.47801866 r0 r0 Rb2.47801866 1.428560671 此意味著，富烯 C60分子只具備一種鍵長的 話，我們只要測出其 CC 鍵長，即可求出其球半徑， 反之亦然。而球半徑之獲得，則又可估算出單一個富 烯 C60分子之體積及其密(C60之質為 1260720 amu)。過這與一般在晶體結構頭稱謂的單胞(Unit Cell)之體積及所獲致的並相同，其間差請閱文獻 26。26 然而，實際上富烯 C6
14、0分子具有種鍵長，即： r1 與 r2，且 r1 與 r2且必然有如下關係：即 r1 r0 r2 0。藉此，我們可以由 (i) Rb 與 r1求取 r2，或 (ii) Rb 與 r2求取 r1 首先，由第(i)項 Rb 與 r1求取 r2 將 Rb平方，得 )72cos21 (22)72cos1(2212 22 12 +=rrrrRb 0)72cos21 (222)72cos1 (22 1212 2=+bRrrrr 72cos1)72cos21 ( 2 )72cos1 (72cos122 1 22 11 2=bRrrrr取正值，因 r2 0 經化簡後得 72cos1)72cos1(2)72cos21(2 12 1 2+=rRrrb (2) 我們已知球半徑 Rb與 r1則我們可以藉由(2)式 求取 r2，如：我們在查文獻發現，另一組 X-ray 的實 驗據其 r1
