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1、人教 A 版 2017-2018 学年高中数学必修 2 知识导航学案3.13.1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率3.1.13.1.1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率 3.1.23.1.2 两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定 知识梳理知识梳理 1.当直线l与 x 轴相交时,取 x 轴为基准,x 轴与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角;当直线l与 x 轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为 0.直线的倾斜角 0,180). 2.倾斜角 的正切值(90)叫做直线的斜率,当 0,90)时,k0;当 (90,180)时,k0;当 90时,k 不存在.3.若 P1(x1,y1),P2
2、(x2,y2)(x1x2)是直线l上的两点,则直线l的斜率 k1212 xxyy 且 k 与P1,P2位置无关. 4.两条直线l 1, l 2的斜率为 k1,k2,且l 1与l 2不重合,则l 1l2k1=k2;则l 1l 2k1k2=-1;若l1与l2不重合且斜率均不存在,则l1l2;若两直线一条斜率不存在,而另 一条斜率为 0,则l1l2. 知识导学知识导学直线的倾斜角、斜率刻画了直线的倾斜程度,正确理解它们是解题的关键.斜率的大小 由倾斜角唯一确定.对于坐标表示的斜率,其大小与两点的先后顺序无关.当 x1=x2,y1y2时,直线的倾斜角 =90,斜率不存在,这常常是分类讨论的依据.若 k
3、AB=kAC,此时 AB 与 AC 的倾斜角相同,两 直线重合.因此,利用过同一点的两条直线的斜率相同可以证明三点共线. 当利用斜率判断两条直线的位置关系时,要注意考查一条直线的斜率为 0.而另一条不存在 斜率的情况. 疑难突破疑难突破 1.直线的倾斜角. 剖析剖析: :当直线与 x 轴相交时,取 x 轴为基准,x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角,由定义可知,直线 l 的倾斜角可以是锐角、直角、钝角,特别地,当直 线 l 与 x 轴平行或重合时,规定其倾斜角为 0,于是倾斜角 的取值范围是 0 180,直线的倾斜角反映了直线的倾斜程度,在 0到 90之间,倾斜
4、角越大,倾斜程 度越陡,在 90到 180之间,倾斜角越大,倾斜程度越缓.利用直线上一点和直线的倾斜角, 可唯一地确定一条直线.我们规定,一条直线绕着它的端点,按逆时针方向旋转所成的角叫做正角;按顺时针方向 旋转形成的角叫做负角;若该射线未做任何旋转所形成的角叫做零角.在平面直角坐标系中, 对于一条与 x 轴相交的直线,我们把 x 轴(正方向)绕着交点按逆时针方向旋转到与直线 l 重 合时所形成的最小正角,叫做直线 l 的倾斜角. 2.直线的斜率. 剖析剖析: :(1)一条直线的倾斜角 的正切值,叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示, 即 k=tan,因为 tan90不存在,所以倾斜
5、角为 90时,斜率不存在.倾斜角 不是 90的 直线都有斜率,而且倾斜角不同,直线的斜率也不同,因此斜率也表示了直线的倾斜程度. 由于直线被它上面的两点唯一确定,设直线上的任意两点为 A(x1,y1)、B(x2,y2),则该直线的斜率为 k=1212 xxyy .人教 A 版 2017-2018 学年高中数学必修 2 知识导航学案(2)对于斜率公式有以下几点说明: 斜率公式表明直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度,可以通过直线上任意两点的坐标表示, 比使用几何的方法求出倾斜角再求斜率的方法方便. 斜率公式与两点的顺序无关,即两纵坐标和横坐标在公式上的次序可以同时调换,就是说, 如果分子是 y2-
6、y1,分母必须是 x2-x1;反过来,如果分子是 y1-y2,分母必须是 x1-x2. 如果 y2=y1,x2x1,则直线与 x 轴平行或重合,k=0; 如果 y2y1,x2=x1,则直线与 x 轴垂直,倾斜角等于 90,k 不存在.对于直线的斜率,可在平面直角坐标系中,结合具体的图形去认识.平面直角坐标系中每 一条直线都有确定的倾斜角 ,而且倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角,倾斜程度相同的 直线有相等的倾斜角,故可用倾斜角来刻画直线的倾斜程度.因此确定一条直线的几何要素 是直线上一个定点和直线的倾斜角.两个点可确定一条直线,两点可以确定直线的方向,这与“一个点和直线的方向确定一 条直线”是一致的.结合我们日常生活中刻画斜面的“坡角”问题,就可把这个同样用来刻 画直线倾斜程度的量和倾斜角联系起来.从而引入了“斜率”的概念.直线的倾斜角和斜率都是用来刻画直线的倾斜程度的,它们在本质上是一致的.
