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1、FREEKAOYAN2002 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学四试题详解及评析经济数学四试题详解及评析 一、填空题填空题 （1）设常数1,2a 则 21limln(12 )nnnna na+ = . 【答答】 1 1 2a【详解详解】 因为21lim(1 2 )nnnna na+ =11(1 2 )1 21 21lim1(12 )naaanena+=i所以 1 1 2211limlnln(12 )12nannnaenaa+=. （2）已知( )f x的一个原函数为2ln x，则( )xfx dx =. 【答答】 22lnlnxxC+ 【详解详解】 由题设 (
2、)f x22ln(ln)xxx=，根据分布积分有 ( )( )( )( )xfx dxxdf xxf xf x dx=222lnln2lnln.xxCxxCx=+=+ (3)设矩阵211,3223=+ABAAE，则1B= . 【答答】 102 11 【详解详解】 232=+BAAE211112132232320=+=E， 所以 11121010122022211=B （4）设向量组123( ,0, ),( , ,0),(0, , )acb ca b= 线性无关,则, ,a b c必须满足关【免费考研网制作PDF版本Fr e e Ka o y a n .Co m 】免费考研论坛Ht t p :/
3、BBS.Fr e e Ka o Ya n .Co m第 113页FREEKAOYAN系式 . 【答答】 0abc 【详解详解】 三个三维向量1 2 3 线性无关的充要条件是行列式 ()1230,020,0TTTabcaabccb= 即0abc （5）设随机变量,X Y的联合概率密度分布为 Y X 1 0 1 0 1 007 0.18 0.15 008 0.32 0.20 则,X Y的相关系数= . 【答答】 0 【详解详解】 由题设，有 01101,0.40.60.150.50.35XY 于是()0.6,( )1 0.150 0.5 1 0.350.2,E XE Y= + + = 又,X Y的
4、分布规律为 XY -1 0 1 P 0.08 0.72 0.20 于是()1 0.080 0.72 1 0.200.12E XY= + + =， 从而(, )(, )()( )0.120.6 0.20Cov X YE X YE XE Y=i， P 【免费考研网制作PDF版本Fr e e Ka o y a n .Co m 】免费考研论坛Ht t p :/BBS.Fr e e Ka o Ya n .Co m第 213页FREEKAOYAN故相关系数(, )0.()( )Cov X Y D XD Y= 二、选择题二、选择题 （1）设函数( )f x在闭区间 , a b上有定义,在开区间( , )a
5、b上可导,则 (A) 当( ) ( )0f a f b=但3122,0( )( ),0,0xexf x fxx=不能作为某一随机的概率密度,可排除(D); 12()()1 121,FF+ + = + =可排除(C). 【免费考研网制作PDF版本Fr e e Ka o y a n .Co m 】免费考研论坛Ht t p :/BBS.Fr e e Ka o Ya n .Co m第 413页FREEKAOYAN故(B)为正确选项. （5） 设随机变量12,nXXX相互独立分布,12,nnSXXX=+?则根据列维林德柏格(Levy-Lindberng)中心极限定理,当n充分大,nS近似服从正态分布,只
6、要12,nXXX (A) 有相同的数学期望. (B) 有相同的方差. (C) 服从同一指数分布. (D) 服从同一离散型分布. 【答答】 C 【详解详解】根据列维林德柏格定理的条件,要求12,nXXX独立分布,且()iE X与()iD X均存在,(A)(B)两项不能保证同分布,可排除;(D)项服从同一离散项分布,但不能保证,iiEX DX存在,也可排除;只有(C)为正确选项. 三三 、 （本题满分 8 分） 求极限2000arctan(1) lim(1 cos )xuxt dt duxx+ 【详解详解】 方法一: 200000arctan(1)arctan(1) limlim(1 cos )1
7、 cossinxuxxxt dt dut dtxxxxx+ =+ 2 20002 arctan(1)1lim2limarctan(1)lim2sinsinsincoscosxxxxxxxxxxxxx+=+124 36=ii 方法二: 220000 300arctan(1)arctan(1) lim2lim(1 cos )xuxuxxt dt dut dt duxxx+ = 2 2 0 200arctan(1)2arctan(1)2lim2lim36xxxt dtx xx+=2.3 46=i 【免费考研网制作PDF版本Fr e e Ka o y a n .Co m 】免费考研论坛Ht t p :
8、/BBS.Fr e e Ka o Ya n .Co m第 513页FREEKAOYAN四四 、 （本题满分 8 分） 设函数( , , )uf x y z=有连续偏导数,且( , )zz x y=由方程xyzxeyeze=所确定,求du 【详解详解 1】 设( , , ),xyzF x y zxeyeze=则 (1),(1),(1).xyz xyzFxe FyeFze=+= += + 故 11,11yx zy zxzzFFzxzyeexFzyFz+= = =+， 而 1,1x z xzxzuzxffffeyxz+=+=+1,1y z yzyzuzyffffeyyz+=+=+所以11()().1
9、1x zy z xzyzuuxydudxdyffedxffedyxyzz+=+=+【详解详解 2】 在xxzxeyeze=两边微分,得 ,xxyyzze dxxe dxe dyye dye dzze dz+=+ 故 (1)(1).(1)xyzx e dxy e dydzz e+=+由( , , ),uf x y z=得 ,xyzduf dxf dyf dz=+ 故 11()().11x zy z xzyzxyduffedx ffedyzz+=+五五 、 （本题满分 8 分） 设2(sin),sinxfxx=求( )1xf x dxx【详解详解】 令2sin,ux=，则有 【免费考研网制作PDF
10、版本Fr e e Ka o y a n .Co m 】免费考研论坛Ht t p :/BBS.Fr e e Ka o Ya n .Co m第 613页FREEKAOYANarcsinsin,arcsin,( ),xxu xu f xx=.于是 arcsin( )11xxf x dxdxxx=arcsin(1)2 arcsin11xdxxdxx= = 12 1arcsin211xxxdxx= +2 1arcsin2.xxxC= + 六、六、 （本题满分 9 分） 设闭区域22:,0. ( , )D xyy xf x y+为D上的连续函数,且 228( , )1( , ),Df x yxyf u v
11、 dudv=求( , )f x y 【详解详解】 设( , ),Df u v dudvA=在已知等式两边求区域 D 上的二重积分,有 228( , )1,DDDAf x y dxdyxy dxdydxdy=从而 221.DAxy dxdyA=【免费考研网制作PDF版本Fr e e Ka o y a n .Co m 】免费考研论坛Ht t p :/BBS.Fr e e Ka o Ya n .Co m第 713页FREEKAOYAN所以 sin2322 00011221(1 cos)().33 23Adrrdrd=i 故 12().6 23A= 于是 2242( , )1().323f x yxy
12、 = 七、七、 （本题满分 9 分） 设某商品需求量Q是价格p的单调减少函数:( )QQ p=,其需求弹性2220192p p=. (1) 设R为总收益函数,证明(1).dRQdp= (2) 求6p=时,总收益对价格的弹性,并说明其经济意义. 【详解详解】 (1)( )( ).R ppQ p= 上式两边对p求导,得 (1)(1).dRdQp dRQpQQdpdpQ dp=+=+= (2) (1)ERp dRpQEpR dppQ= 22222192311192192pp pp= = =22 61923 670.54.192613pER Ep= =经济意义:当6p=时,若价格上涨 1%,则总收益将
13、增加 0.54%. 八、八、 （本题满分 8 分） 设函数( ), ( ) , f x g xa b在上连续,且( )0,g x 利用闭区间上连续函数得性质,证明存在一点 , ,a b使 ( ) ( )( )( ).bbaaf x g x dxfg x dx=【免费考研网制作PDF版本Fr e e Ka o y a n .Co m 】免费考研论坛Ht t p :/BBS.Fr e e Ka o Ya n .Co m第 813页FREEKAOYAN【详解详解】因为( ), ( ) , f x g xa b在上连续, 且( )0,g x ,由最值定理,知( )f x在 , a b上有最大值M和最小
14、值m,即 ( ),mf xM 故 ( )( ) ( )( ).mg xf x g xMg x ( )( ) ( )( ),bbbaaamg x dxf x g x dxMg x dx( ) ( )( )ba baf x g x dx mM g x dx . 由介值定理知,存在 , ,a b使 ( ) ( ) ( ) ( )ba baf x g x dx f g x dx= , 即 ( ) ( )( )( ).bbaaf x g x dxfg x dx=九、九、 （本题满分 13 分） 设四元齐次方程组(I)为 123123423020xxxxxxx+= +=且已知另一四元齐次线性方程组(II)的一个基础解系为 1(2, 1,2,1) ,( 1,2,4,8) .TTaa2=+= + (1) 求方程组(I)的一个基础解系; (2)当a为何值时,方程组(I)与(II)有非零公共解?在有非零公共解时,求出全部非零公共解. 【详解详解】 方法一： (1) 对方程组（I）的系数矩阵作行初等变换,有. 23101053.12110132A=得
