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1、2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测专题能力训练 17 直线与圆锥曲线专题能力训练第 40 页 一、能力突破训练1.(2017 全国,文 12)过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F,且斜率为的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴3的上方),l 为 C 的准线,点 N 在 l 上且 MNl,则 M 到直线 NF 的距离为( )A.B.2C.2D.35233答案：C解析：由题意可知抛物线的焦点 F(1,0),准线 l 的方程为 x=-1,可得直线 MF:y=(x-1),与抛物3线 y2=4x 联立,消去 y 得 3x2-10x+3=0,解得 x1= ,x2=3.13因为 M 在 x 轴的上
2、方,所以 M(3,2).3因为 MNl,且 N 在 l 上,所以 N(-1,2).3因为 F(1,0),所以直线 NF:y=-(x-1).所以 M 到直线 NF 的距离为=2.3| 3 (3 - 1) + 2 3|( - 3)2+ 1232.与抛物线 y2=8x 相切倾斜角为 135的直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别是 A 和 B,那么过 A,B 两点的最小圆截抛物线 y2=8x 的准线所得的弦长为( )A.4 B.2C.2 D.22答案：C解析：设直线 l 的方程为 y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得 y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以 =82-4(-8b)=0
3、,解得 b=-2,故直线 l 的方程为 x+y+2=0,从而 A(-2,0),B(0,-2).因此过A,B 两点的最小圆即为以 AB 为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2,而抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为 1,故所截弦长为 2=2.( 2)2- 123.设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则 l 的方程 为( ) A.y=x-1 或 y=-x+1B.y=(x-1)或 y=-(x-1)33332018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测C.y=(x-1)或
4、y=-(x-1)33D.y=(x-1)或 y=-(x-1)2222答案：C解析：由题意可得抛物线焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1.当直线 l 的斜率大于 0 时,如图,过 A,B 两点分别向准线 x=-1 作垂线,垂足分别为 M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.设|AM|=|AF|=3t(t0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,在AMK 中,由=,得=,|3 + 4解得 x=2t,则 cosNBK= = ,| 12NBK=60,则GFK=60,即直线 AB 的倾斜角为 60.斜率 k=tan 60=,故直线方程为 y=(x-1).3
5、3当直线 l 的斜率小于 0 时,如图,同理可得直线方程为 y=-(x-1),故选 C.32018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测4.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1:-=1(a0,b0)的渐近线与抛物线 C2:x2=2py(p0)2222交于点 O,A,B.若OAB 的垂心为 C2的焦点,则 C1的离心率为 . 答案：32解析：双曲线的渐近线为 y= x. 由得 A. = ,2= 2,?(2,222)由得 B. = - ,2= 2,?(-2,222)F为OAB 的垂心,(0,2)kAFkOB=-1,即=-1,222-22- 0(- )解得= ,= ,即可得 e= .225422
6、94325.(2017 北京,文 19)已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(-2,0),B(2,0),焦点在 x 轴上,离心率为.32(1)求椭圆 C 的方程; (2)点 D 为 x 轴上一点,过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M,N,过 D 作 AM 的垂线 交 BN 于点 E.求证:BDE 与BDN 的面积之比为 45.(1)解设椭圆 C 的方程为+=1(ab0).22222018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测由题意得解得 c=. = 2, =32,?3所以 b2=a2-c2=1.所以椭圆 C 的方程为+y2=1.24(2)证明设 M(m,n),则 D(m,0),N(
7、m,-n).由题设知 m2,且 n0.直线 AM 的斜率 kAM=, + 2故直线 DE 的斜率 kDE=-. + 2所以直线 DE 的方程为 y=-(x-m),直线 BN 的方程为 y=(x-2).联立 + 22 - = - + 2( - ), =2 - ( - 2),?解得点 E 的纵坐标 yE=-.(4 - 2)4 - 2+ 2由点 M 在椭圆 C 上,得 4-m2=4n2.所以 yE=- n.45又 SBDE= |BD|yE|= |BD|n|,SBDN= |BD|n|,122512所以BDE 与BDN 的面积之比为 45.6.在平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:+=1(ab0)右
8、焦点的直线 x+y-=0 交 M 于 A,B22223两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 .12(1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角线 CDAB,求四边形 ACBD 面积的最大值.解(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测则+=1,+=1,=-1,2122122222222- 1 2- 1由此可得=-=1.2(2+ 1)2(2+ 1)2- 1 2- 1因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,= ,所以 a2=2b2.0012又由题意知,M 的右焦点为(,0),所以
9、a2-b2=3.3所以 a2=6,b2=3.所以 M 的方程为+=1.2623(2)由解得或因此|AB|=.由题意可设直线 CD 的方程 + - 3 = 0, 26+23= 1,? =4 33, = -33? = 0, = 3.?4 63为 y=x+n,(-5 33b0),2222由已知可得ADB 的面积的最大值为 2ab=ab=. 122F(1,0)为椭圆右焦点,a2=b2+1. 由可得 a=,b=1,2故椭圆 C 的方程为+y2=1.22(2)过点 E 取两条分别垂直于 x 轴和 y 轴的弦 M1N1,M2N2,则+=+,1|1|21|1|21|2|21|2|2即=+,解得 x0=,21
10、-20 21(0+ 2)21(0- 2)263E 若存在必为,定值为 3.(63,0)证明如下:设过点 E的直线方程为 x=ty+,代入 C 中得(t2+2)y2+ty- =0.(63,0)632 6343设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2=-=-,y1y2=-,2 632+ 22 63(2+ 2)43(2+ 2)2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测+=+=1|21|21(1 + 2)2 11(1 + 2)2 211 + 2(121+122)11 + 2(1+ 2)2- 212212 211 + 2=3.-2 63(2+ 2)2+83(2+ 2)-43(2+ 2)2
11、综上得定点为 E,定值为 3.(63,0)8.已知 A 是椭圆 E:+=1 的左顶点,斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,2423MANA.(1)当|AM|=|AN|时,求AMN 的面积;(2)当 2|AM|=|AN|时,证明:0.由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为 .4又 A(-2,0),因此直线 AM 的方程为 y=x+2.将 x=y-2 代入+=1 得 7y2-12y=0.2423解得 y=0 或 y=,所以 y1=.127127因此AMN 的面积 SAMN=2 =.1212712714449(2)证明将直线 AM 的方程 y=k(x+2)(
12、k0)代入+=1 得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.2423由 x1(-2)=得 x1=,162- 123 + 422(3 - 42)3 + 42故|AM|=|x1+2|=.1 + 2121 + 23 + 42由题设,直线 AN 的方程为 y=- (x+2),1 2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测故同理可得|AN|=.121 + 232+ 4由 2|AM|=|AN|得=,23 + 4232+ 4即 4k3-6k2+3k-8=0.设 f(t)=4t3-6t2+3t-8,则 k 是 f(t)的零点.f(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以 f(t)在区
13、间(0,+)单调递增.又 f()=15-260,33因此 f(t)在区间(0,+)有唯一的零点,且零点 k 在区间(,2)内.所以0)的焦点为 F,抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|-1.(1)求 p 的值; (2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N,AN 与 x 轴交于点 M.求 M 的横坐标的取值范围.解(1)由题意可得,抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x=-1 的距离,由抛物线的定义得 =1,即 p=2.2(2)由(1)得,抛物线方程为 y2=4x,F(1,0),可设 A(t2,2t)
14、,t0,t1.因为 AF 不垂直于 y 轴,可设直线 AF:x=sy+1(s0),由消去 x 得 y2-4sy-4=0,2= 4, = + 1?故 y1y2=-4,所以,B.(12, -2 )2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测又直线 AB 的斜率为,故直线 FN 的斜率为-.22- 12- 12从而得直线 FN:y=-(x-1),直线 BN:y=- .所以 N.2- 122 (2+ 32- 1, -2 )设 M(m,0),由 A,M,N 三点共线得=,22- 2 +2 2-2+ 32- 1于是 m=.所以 m2.222- 1经检验,m2 满足题意.综上,点 M 的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).10.已知椭圆 E:+=1(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点 P2222在椭圆 E 上.(3,12)(1)求椭圆 E 的方程;(2)设不过原点 O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,线段 AB 的中点为 M,直12线 OM 与椭圆 E 交于 C,D,证明:|MA|MB|=|MC|MD|.(1)解由已知,a=2b.又椭圆+=1(ab0)过点
