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1、天津市 2018 年高考数学(文)二轮复习专题能力训练专题能力训练专题能力训练 1313 空间几何体空间几何体一、能力突破训练 1.(2017 河北唐山模拟)在九章算术中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ,已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的表面积为( )A.4 B.6+4 C.4+4D.2 答案：B 解析：由三视图可知,该几何体是底面为斜边长为 2 的等腰直角三角形、高为 2 的直三棱柱,所以该几何体的表面积为 22+22+2=6+4,故选 B.2.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体 的体积是,则它的表面积是( )A.17B
2、.18 C.20D.28 答案：A 解析：由三视图可知,该几何体是球截去后所得几何体,则R3=,解得R=2,所以它的表面积为4R2+R2=14+3=17. 3.(2017 北京,文 6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A.60B.30C.20D.10 答案：D天津市 2018 年高考数学(文)二轮复习专题能力训练解析：由该几何体的三视图可得它的直观图为长、宽、高分别为 5,3,4 的长方体中的三棱锥A-BCD,如图所示.故该几何体的体积是V=534=10.故选 D.4.已知平面截球O的球面所得圆的半径为 1,球心O到平面的距离为,则此球的体积 为( )A.B.4 C.4D.6
3、 答案：B 解析：设球O的半径为R,则R=,故V球=R3=4.5.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分 别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则( ) A.S1=S2=S3B.S2=S1,且S2S3 C.S3=S1,且S3S2D.S3=S2,且S3S1 答案：D 解析：三棱锥的各顶点在xOy坐标平面上的正投影分别为A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(1,1,0).显然D1点为A1C1的中点,如图,正投影为 RtA1B1C1,其面积S1=22=2
4、. 三棱锥的各顶点在yOz坐标平面上的正投影分别为A2(0,0,0),B2(0,2,0),C2(0,2,0), D2(0,1,).显然B2,C2重合,如图,正投影为A2B2D2,其面积S2=2=. 三棱锥的各顶点在zOx坐标平面上的正投影分别为A3(2,0,0),B3(2,0,0),C3(0,0,0), D3(1,0,),由图可知,正投影为A3D3C3,其面积S3=2=. 综上,S2=S3,S3S1.故选 D.图图图天津市 2018 年高考数学(文)二轮复习专题能力训练6.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视 图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积
5、为 16+20,则r=( )A.1 B.2 C.4 D.8 答案：B 解析：由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆 柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成. S表=2r2r+2r2+r2r+4r2 =5r2+4r2=16+20,解得r=2. 7.(2017 天津,文 11)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为 18,则这个球的体积为 . 答案： 解析：设正方体的棱长为a,外接球的半径为R,则 2R=a.正方体的表面积为 18,6a2=18.a=,R=.
6、该球的体积为V=R3=. 8.(2017 广东汕头模拟)一个几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图是两个全等的三角 形,俯视图是个圆,则该几何体的体积等于 . 答案：9 解析：由三视图知该几何体为底面半径为 3,高为 4 的个圆锥,故所求体积V=324=9. 9.天津市 2018 年高考数学(文)二轮复习专题能力训练如图,已知在多面体ABCDEFG中,AB,AC,AD两两互相垂直,平面ABC平面DEFG,平面BEF 平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为 . 答案：4 解析：(方法一:分割法)几何体有两对相对面互相平行,如图,过点C作CHDG于H,连接EH,即把
7、多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个 斜三棱柱BEF-CHG. 由题意,知 V三棱柱DEH-ABC=SDEHAD=2=2, V三棱柱BEF-CHG=SBEFDE=2=2. 故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG=2+2=4.(方法二:补形法)因为几何体有两对相对面互相平行, 如图,将多面体补成棱长为 2 的正方体,显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半. 又正方体的体积V正方体ABHI-DEKG=23=8, 故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG=8=4. 10.下列三个图中,左面是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图.右面两个是其正视 图和侧视图.(1)请按照画三视图的
8、要求画出该多面体的俯视图(不要求叙述作图过程); (2)求该多面体的体积(尺寸如图). 解(1)作出俯视图如图所示.天津市 2018 年高考数学(文)二轮复习专题能力训练(2)依题意,该多面体是由一个正方体(ABCD-A1B1C1D1)截去一个三棱锥(E-A1B1D1)得到的,所 以截去的三棱锥体积=A1E=1=, 正方体体积=23=8, 故所求多面体的体积V=8-=.11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4, 过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形
9、(不必说明画法和理由); (2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值. 解(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.(2)作EMAB,垂足为M, 则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因为EHGF为正方形, 所以EH=EF=BC=10. 于是MH=6,AH=10,HB=6. 因为长方体被平面分成两个高为 10 的直棱柱, 所以其体积的比值为.二、思维提升训练 12.(2017 广东阶段性测评)一块边长为 6 cm 的正方形铁皮按如图(1)所示的阴影部分裁下, 然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,将该容器按如图(2)放置. 若其正视图为等腰直角三角形,则该容
10、器的体积为( )A.12 cm3B.4 cm3 C.27 cm3D.9 cm3 答案：D 解析：如图(2),PMN为该四棱锥的正视图,由图(1)可知,PM+PN=6 cm,且PM=PN.天津市 2018 年高考数学(文)二轮复习专题能力训练由PMN为等腰直角三角形,得MN=3 cm,PM=3 cm. 设MN的中点为O,则PO平面ABCD,PO=MN= cm, 故VP-ABCD=(3)2=9(cm3).故选 D. 13.(2017 湖南永州一模)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视 图,则该几何体的各个面中最大面的面积为( )A.1 B.C.D.2 答案：D 解析：由题
11、意得,该几何体的直观图为三棱锥A-BCD,如图,其最大面的表面是边长为 2 的等边三角形,其面积 为(2)2=2. 14.已知一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图,图中圆内 有一个以圆心为中心,边长为 1 的正方形,则这个四面体的外接球的表面积是( )A.B.3 C.4D.6 答案：B 解析：由三视图可知,该四面体是一个正方体的内接正四面体,所以此四面体的外接球的直径为正方体的对角线的 长,为,天津市 2018 年高考数学(文)二轮复习专题能力训练所以此四面体的外接球的表面积为 4=3. 15.若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA平面 ABC,SA=2
12、,AB=1,AC=2,BAC=60,则球O的表面积为 . 答案：64 解析：如图,三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,因为AB=1,AC=2,BAC=60,所以BC=, 所以ABC=90. 所以ABC截球O所得的圆O的半径r=1. 设OO=x,球O的半径为R,则R2=x2+12,R2=(SA-x)2+12, 所以x2+1=+1, 解得x=,R2=+12,R=4. 所以球O的表面积为 4R2=64. 16.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B(如图), 并且点D在平面ABC内的射影落在AB上.(1)证明:AD平面DBC; (2)若在四面体D
13、-ABC内有一球,问:当球的体积最大时,球的半径是多少? (1)证明设D在平面ABC内的射影为H,则H在AB上,连接DH,如图,则DH平面ABC,得DHBC. 又ABBC,ABDH=H, 所以BC平面ADB,故ADBC. 又ADDC,DCBC=C, 所以AD平面DBC. (2)解当球的体积最大时,易知球与三棱锥D-ABC的各面相切,设球的半径为R,球心为O,则VD-ABC=R(SABC+SDBC+SDAC+SDAB).由已知可得SABC=SADC=6. 过D作DGAC于点G,连接GH,如图,可知HGAC. 易得DG=,HG=,DH=,SDAB=4=. 在DAB和BCD中, 因为AD=BC,AB=DC,DB=DB,所以DABBCD,故SDBC=,VD-ABC=6=. 则=,于是(4+)R=,所以R=.
