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1、 1北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修 2-12-1全册教案全册教案2四种命题、四种命题的相互关系四种命题、四种命题的相互关系（一）教学目标知识与技能知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假 过程与方法过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力情感、态度与价值观情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力（二）教
2、学重点与难点（二）教学重点与难点重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系难点：（1）命题的否定与否命题的区别； （2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假教具准备：教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：教学设想：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力（三）教学过程（三）教学过程学生探究过程：复习引入复习引入初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？2 2思考、分析思考、分析问题 1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）
3、（3） （4）的条件与结论之间分别有什么关系？（1）若 f(x)是正弦函数，则 f(x)是周期函数 （2）若 f(x)是周期函数，则 f(x)是正弦函数（3）若 f(x)不是正弦函数，则 f(x)不是周期函数 （4）若 f(x)不是周期函数，则 f(x)不是正弦函数归纳总结归纳总结问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论紧接结合此例给出四个命题的概念，（）和（）这样的两个命题叫做互逆命题，互逆命题， （）和（）这样的两个命题叫做互否命题，互否命题，（）和（）这样的两个命题叫做互为逆否命题。互为逆否命题。抽象概括抽象概括定义：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和
4、条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题互逆命题其中一个命题叫做原命题原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题逆命题让学生举一些互逆命题的例子。3定义：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题互否命题其中一个命题叫做原命题原命题，另一个命题叫做原命题的否命题否命题让学生举一些互否命题的例子。定义：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题互为逆否命题其中一个命题叫做原原命题命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题逆否命题让学生举一些
5、互为逆否命题的例子。小结：小结： (1) 交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题逆命题：(2) 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题否命题；(3) 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题逆否命题强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。四种命题的形式四种命题的形式让学生结合所举例子，思考：若原命题为“若 P，则 q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？学生通过思考、分析、比较，总结如下：原命题：若原命题：若 P P，则，则 q q则：逆命题：若逆命题：若 q q，则，则 P P否命题：若否命题：若P
6、P，则，则qq （说明符号“”的含义：符号“”叫做否定符号 “p”表示 p的否定；即不是 p；非 p）逆否命题：若逆否命题：若qq，则，则PP巩固练习巩固练习写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：（） 若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；（） 若一个整数的末位数字是，则这个整数能被整除；（） 若 x2=1,则 x=1；（）（） 若整数 a 是素数，则是 a 奇数。思考、分析思考、分析结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？通过此问，学生将发现：原命题为真，它的逆命题不一定为真。原命题为真，它的否命题不一定为真。原命题为真，它的逆否命题一定
7、为真。原命题为假时类似。结合以上练习完成下列表格：4原 命 题逆 命 题否 命 题逆 否 命 题真真假真假真假假由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总逆命题与否命题也总是具有相同的真假性是具有相同的真假性由此会引起我们的思考：思考：一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：总结归纳总结归纳若若 P P，则，则 q q
8、若若 q q，则，则 P P互 逆原命题逆命题互 为否逆互否 为 互逆否互否否命题 互 逆逆否命题若若PP，则，则qq若若qq，则，则PP由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：（1 1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2 2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题例题分析例题分析例 4： 证明：若 p2
9、 q2 2，则 p q 2分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。将“若 p2 q2 2，则 p q 2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若 p + q 2，则 p2 + q2 2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的证明：若 p q 2，则5p2 q2 （p q）2（p q）2（p q）221 21 21所以 p2 q22这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。练习巩固：证明：若 a2b2ab，则 ab：教学反思：教学反思（）逆命题、否命题与逆否命题的概念；（）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；（）两个命题
10、为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；（）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价充分条件与必要条件充分条件与必要条件（一）教学目标（一）教学目标1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力 情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育（二）教学重点与难点（二）教学重点与难点重点：充分条件、必要条件的概念(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概
11、念，最后再应用概念进行论证)难点：判断命题的充分条件、必要条件关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件（三）教学过程1 1练习与思考练习与思考写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若 x a2 + b2，则 x 2ab,（2）若 ab 0，则 a 0.学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题()为假命题置疑：对于命题“若 p，则 q”，有时是真命题，有时是假命题如何判断其真假的？答：看 p 能不能推出 q，如果 p 能推出 q，则原命题是真命题，否则就是假命题给出定义给出定义6命题“若 p，则 q” 为真命题，是指由 p 经过推理能推出 q，也
12、就是说，如果 p 成立，那么 q 一定成立换句话说，只要有条件 p 就能充分地保证结论 q 的成立，这时我们称条件p 是 q 成立的充分条件一般地， “若 p，则 q”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q这时，我们就说，由p 可推出 q，记作：pq定义：如果命题“若 p，则 q”为真命题，即 p p q q,那么我们就说 p p 是是 q q 的充分条件的充分条件；q q 是是p p 必要条件必要条件上面的命题(1)为真命题，即 x a2 + b2 x 2ab，所以“x a2 + b2 ”是“x 2ab”的充分条件， “x 2ab”是“x a2 + b2” 的必要条件3 3例题分析：例题
13、分析：例：下列“若 p，则 q”形式的命题中，那些命题中的 p 是 q 的充分条件？（1）若 x 1，则 x2 4x 3 0；（2）若 f(x) x，则 f(x)为增函数；（3）若 x 为无理数，则 x2为无理数分析：要判断 p 是否是 q 的充分条件，就要看 p 能否推出 q 解略例：下列“若 p,则 q”形式的命题中，那些命题中的 q 是 p 的必要条件?(1) 若 x y，则 x2 y2；(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；(3) 若 a b,则 acbc分析：要判断 q 是否是 p 的必要条件，就要看 p 能否推出 q 解略练习巩固：练习巩固： 课堂总结课堂总结充分、必
14、要的定义在“若 p，则 q”中，若 pq，则 p 为 q 的充分条件，q 为 p 的必要条件注：（1）条件是相互的；（2）p 是 q 的什么条件，有四种回答方式： p 是 q 的充分而不必要条件； p 是 q 的必要而不充分条件； p 是 q 的充要条件； p 是 q 的既不充分也不必要条件充要条件充要条件(一)教学目标1.知识与技能目标：（1）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义（2）正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件.7（3）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,2.过程与
15、方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质3. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神（二）教学重点与难点重点：1、正确区分充要条件 2、正确运用“条件”的定义解题难点：正确区分充要条件(三)教学过程1.1.思考、分析思考、分析已知 p：整数 a 是 2 的倍数；q：整数 a 是偶数.请判断： p 是 q 的充分条件吗？p 是 q 的必要条件吗？分析：要判断 p 是否是 q 的充分条件，就要看 p 能否推出 q，要判断 p 是否是 q 的必要条件，就要看 q 能否推出 p易知：pq，故 p 是 q 的充分条件；又 q p，故 p 是 q 的必要条件此时,我们说, p 是 q 的充分必要条件充分必要条件. .类比归纳类比归纳一般地,如果既有 pq ，又有 qp 就记作p q. 此时,我们说,那么 p 是 q 的充分必要条件充分必要条件,简称充要条件充要条件. .显然,如果 p 是 q 的充要条件,那么q 也是
