平面结构问题的有限单元法

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1、14.1 平面应力问题 第四章 平面结构问题的有限单元法4.2 平面应变问题 4.3 平面问题的离散化4.4 平面三结点三角形单元 4.5 ANSYS平面结构计算示例 2严格地说，任何弹性体都是处于三维受力状态， 因而都是空间问题，但是在一定条件下，许多空间问 题都可以简化成平面问题。平面问题可以分为两类：平面应力问题和平面应 变问题。图4-1 平面问题应力状态第四章 平面结构问题的有限单元法34.1 平面应力问题图4-2(a) 平面应力问题如图所示的深梁结构，其厚度方向的尺寸远比其 它两个方向的尺寸小得多，可视为一薄板。它只承受 作用在其平面内的载荷，且沿厚度方向不变，计算时 以中性面为研究

2、对象。其力学特点是：平面应力问题的应力应变转换矩阵即弹性矩阵为：。第四章 平面结构问题的有限单元法4图4-2(b) 平面应变问题4.2 平面应变问题图示为一圆形涵洞的横截面。 其长度方向上的尺寸远比其它两个 方向上的尺寸大得多，同样，载荷 作用在xy坐标面内，且沿z轴方向均 匀分布。其力学特点是：但一般情况下 平面应变问题的弹性矩阵只需将式(4-1)中的E换成 换成 ， 即可。第四章 平面结构问题的有限单元法5无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力 与 应变 之间的关系均为： ，其中：为初应变。式中 4.3 平面问题的离散化(a) 三结点三角形单元 (b) 四结点正方形单元 (c) 四结点矩

3、形单元 (d) 四结点四边形单元图4-3 平面问题单元的主要类型第四章 平面结构问题的有限单元法6图4-4(a)表示的是带有椭圆孔的平板，在均匀压力 作用下的应力集中问题。图4-5(b)是利用结构的对称 性，采用三结点三角形单元而离散后的力学模型，各 单元之间以结点相连。(a) 均匀受力板力学模型 (b) 力学模型离散化图4-4 平面问题有限单元法的计算力学模型第四章 平面结构问题的有限单元法74.4 平面三结点三角形单元4.1.1 位移函数图4-5 三角形单元如果把弹性体离散成为有限 个单元体，而且单元很小时，就 很容易利用其结点的位移，构造 出单元的位移插值函数，即位移 函数。位移函数矩阵

4、形式：第四章 平面结构问题的有限单元法8简写为： 由于位移函数适用于单元中的任意一点，所以带入 3个结点的坐标后，得出结点处位移函数为简写为： 第四章 平面结构问题的有限单元法9解出其中， 是三角形单元的面积，当三角形单元结 点i、j、m按逆时针次序排列时，则有4.4.2 形函数矩阵第四章 平面结构问题的有限单元法10其中记号表示将i、j、m进行轮换后，可得 出另外两组带脚标的a、b、c的公式。单元位移函数为结点位移的插值函数，即第四章 平面结构问题的有限单元法(4-9)11令 在式(4-10)中表示的 称为形函数，于 是位移函数表达式用形函数表示为：(4-10)(4-11)写成矩阵形式(4-

5、12)第四章 平面结构问题的有限单元法12由几何方程知将式(4-9)代入式(4-13)中，并求偏导数，得(4-13)4.4.3 单元的应力与应变第四章 平面结构问题的有限单元法13简写为： (4-14)由于B是常量，单元内各点应变分量也都是常量 ，这是由于采用了线性位移函数的缘故，这种单元称为 常应变三角形单元。(4-15)第四章 平面结构问题的有限单元法14由弹性力学的物理方程可知，其应 力与应变有如下关系：(4-16)将式(4-14)代入式(4-16)，得 (4-17)式中 (4-18)S称为应力转换矩阵，对平面应 力问题，其子矩阵为(4-19)由式(4-17)看出，应力分量也是一个常量。

6、在一个 三角形单元中各点应力相同，一般用形心一点表示。 其应变也可同样表示。第四章 平面结构问题的有限单元法15用虚功原理来建立结点力和结点位移间的关系式 ，从而得出三角形单元的刚度矩阵。 (a) 实际力系 (b) 虚设位移图4-6 弹性体虚功原理的应用4.4.4 三角形单元刚度矩阵第四章 平面结构问题的有限单元法16结点力列向量和应力列向量分别为结点虚位移列向量和虚应变列向量为用虚功原理建立三角形单元的虚功方程为由式(4-12)式知，代入式(4-20)得(4-20)第四章 平面结构问题的有限单元法17由于虚位移是任意的，等号两边可左乘，得(4-21)三角形单元的刚度矩阵可写成 (4-22)用

7、分块矩阵形式表示(4-23)第四章 平面结构问题的有限单元法18结构的平衡条件可用所有结点的平衡条件表示。 假定i 结点为结构中的任一公共结点，则该结点平衡 条件为：i 结点的结点力列向量 围绕i结点所有单元的结点力的向量和 i结点的载荷列向量。 4.4.5 整体刚度矩阵第四章 平面结构问题的有限单元法19每个结点由两个平衡方程组成，若结构共有n个结 点，则有2n个平衡方程。整个结构的平衡条件由式(4- 24)求和得到，即：i1，2，n (4-26)(4-27)其中，K为结构整体刚度矩阵； 为结构的结点位 移列向量。 (4-28)第四章 平面结构问题的有限单元法20将式(4-26)、式(4-2

8、7)代入式(4-25)中得(4-29)整体刚度矩阵也可按结点写成分块矩阵的形式：(4-30)同杆系结构一样，整体刚度方程经过约束处理后， 即可求出结点位移，进而求出所希望的应力场。第四章 平面结构问题的有限单元法214.5 ANSYS平面结构计算示例4.5.1问题描述如图4-7所示长方形板ABCD ，板厚0.04m，孔半径r=0.2m， E=210GPa，泊松比=0.3，约束 条件：在长方形底边AD约束全 部自由度, BC边施加垂直向下均 布载荷g=10000000N/m。 图4-7 长方形板结构 4.5.2 ANSYS求解操作过程打开Ansys软件，在Ansys环境下做如下操作。第四章 平面

9、结构问题的有限单元法22图4-8 单元类型对话框 （1）选择单元类型运行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete，弹出Element Types对话框，如图4-8所示。单击Add ，弹出 Library of Element Types窗口，如图 4-9所示，依次选择Structural Solid， Quad 8 node 82，单击OK。图4-9 单元类型库对话框第四章 平面结构问题的有限单元法23在Element Types对话框中，如图4-10所示，单击 Options，弹出如图4-11所示对话框，设置K3选项栏为 Plane strs w/thk

10、，设置K5选项栏为Nodal stress，设置K6 选项栏为No extra output。表示单元是应用于平面应力 问题，且单元是有厚度的。图4-10 单元类型对话框 图4-11 PLANE82 单元选项设置对话框第四章 平面结构问题的有限单元法24（2）定义实常数运行PreprocessorReal ConstantsAdd /Edit/Delete， 弹出如图4-12所示对话框， 点击Add，弹出如图4-13所示 对话框，点击OK，弹出如图 4-14所示对话框，在THK选 项栏中设置板厚度为0.04m。 设置完毕单击OK按钮。图4-12 实常数对话框 图4-13 选择要设置实常数的单元

11、类型 图4-14 PLANE82实常数设置第四章 平面结构问题的有限单元法25（3）设置材料属性运行PreprocessorMaterial PropsMaterial Models，弹出 如图4-15所示对话框，依次双 击Structural，Linear，Elastic， Isotropic，弹出图4-16所示对话 框，在EX选项栏中设置数值 2.1e11，在PRXY选项栏中设置 数值0.3。设置完毕单击OK按 钮。图4-15 选择材料属性对话框 图4-16 设置材料属性对话框 第四章 平面结构问题的有限单元法26（4）建立模型运行 PreprocessorModelingCrea teA

12、reaRectangleBy 2 Corners，弹出如图4-17所示 对话框，设置参数， WP X选项栏中填写0，WP Y选项栏中填写0，Width选 项栏中填写1.5，Height选项 栏中填写1，单击OK。继续 运行 PreprocessorModelingCrea teAreaCircleSolid Circle，得到如图4-18所示对 话框，在WP X选项栏中填 写0.75，WP Y选项栏中填写 0.5，在Radius选项栏中填写 0.2，设置完毕点击OK按 钮。图4-17 建立 矩形对话框图4-18 创建实 心圆对话框第四章 平面结构问题的有限单元法27进行布尔运算： Prepro

13、cessorModelingOperateB ooleans SubtractAreas，先选矩形面单击 OK，再单击圆面，单击OK。得 到如图4-19所示图形。 图4-19 长方形板模型 （5）划分网格运行MeshingSize CntrlsManual SizeAreasAll Areas，弹出如图4-20所示对话框，在SIZE选项栏中填 写0.05，点击OK按钮。图4-20 设置网格尺寸对话框 第四章 平面结构问题的有限单元法28运行MeshMesh Tool，弹出 如图4-21所示对话框，在Shape选 项栏后面，选择Tri和Free，单击 Mesh.划分网格，网格划分如图4- 22所

14、示。图4-21 网格划分对话框 图4-22 划分网格后的有限元模型 第四章 平面结构问题的有限单元法29图4-23 施加全约束 （6）施加约束选择菜单SolutionDefine LoadsApplyStructureDisplacementOn Lines，选 择长方形底边，弹出图4-23所 示对话框，选择All DOF，单 击OK。 （7）施加载荷选择菜单SolutionDefine LoadsApplyStructure PressureOn Lines，弹出如图4-24所示对话框。拾取 长方形上边，单击OK按钮。弹出如图4-25所示对话 框。在VALUE选项栏中填写10000000。设

15、置完毕点击 OK完成设置。第四章 平面结构问题的有限单元法30图4-24 拾取要施加载荷的边 图4-25 施加载荷对话框（8）求解运行SolutionSolveCurrent LS，弹出如图4-26所示 对话框。单击OK按钮，开始计算，计算结束会弹出计 算完毕对话框，单击Close关闭对话框，计算完毕。图4-26 求解当前步载荷对话框 第四章 平面结构问题的有限单元法31（9）后处理运行 General PostprocPlot ResultsContour Plot Nodal Solu，弹出如图4-27所示对话框，运行DOF SolutionDisplacement vector sum和Stressvon Mises stress，分别显示长方形面板的位移云图和应力云图。 结果显示如图4-28和图4-29所示。图4-27 云图显示对话框 第四章 平面结构问题的有限单元法32图4-28 位移变形云图 图4-29 等效应力云图 4.5.3 结论从图4-28长方形面板的位移云图可知，最大位移 发生在圆孔的上部，最大位移为0.75010-4m。从图4-29长方形面板的应力云图可知，最大应力 发生在圆孔的两侧，