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1、1第第 1 1 课时课时 集合的概念集合的概念学习目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用.4.会判断集合是有限集还是无限集知识链接1在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合2在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合几何图形都可以看成点的集合3解不等式 2x13 得x2，即所有大于 2 的实数集在一起称为这个不等式的解集4一元二次方程x23x20 的解是x1，x2.预习导引1集合的概念在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些事物组成了一
2、个集合，给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素我们约定，同一集合中的元素是互不相同的2元素与集合的关系知识点关系概念记法读法属于若S是一个集合，a是S的一个元素，就说a属于SaSa属于S元素与集合的关系 不属于若a不是S的元素，就说a不属于SaSa不属于S3.常用数集及符号表示名称非负整数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N NN NZ ZQ QR R4.集合的分类集合Error!空集：没有元素的集合，记作.2要点一 集合的基本概念例 1 下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过 20 的非负数；(3)直角坐
3、标平面内第一象限的一些点；(4)的近似值的全体3解 (1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过 20 的非负数” ，即“0x20”与“x20 或x0” ，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过 20 的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的3近似值，所以“的近似值的全体”不能构成集合3规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是
4、“确定无疑”的还是“模棱两可”的如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合跟踪演练 1 下列所给的对象能构成集合的是_(1)所有正三角形；(2)第一册课本上的所有难题；(3)比较接近 1 的正整数全体；(4)某校高一年级的 16 岁以下的学生答案 (1)(4)解析 序号能否构成集合理由(1)能其中的元素满足三条边相等(2)不能“难题”的标准是模糊的、不确定的，所以所给的对象不确定，故不能构成集合(3)不能“比较接近 1”的标准不明确，所以所给的对象不确定，故不能构成集合(4)能其中的元素是“16 岁以下的学生”要点二 元素与集合的关系3例 2 所给下列关系正确的
5、个数是( ) R R；Q Q；0N N；|3|N N.1 22A1 B2 C3 D4答案 B解析 是实数，是无理数，正确N N表示正整数集，和不正确1 22规律方法 1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a与集合A，在“aA”与“aA”这两种情况中必有一种且只有一种成立2符号“”和“”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系3 “”和“”具有方向性，左边是元素，右边是集合跟踪演练 2 设不等式 32x0 的解集为M，下列关系中正确的是( )A0M,2MB0M,2MC0M,2MD0M,2M答案 B解析 本题是判断 0 和 2 与集合M间的关系，因此只需判断 0 和 2 是不是不等式
6、 32x0的解即可，当x0 时，32x30，所以 0M；当x2 时，32x10，所以 2M.要点三 集合中元素的特性及应用例 3 已知集合B含有两个元素a3 和 2a1，若3B，试求实数a的值解 3B，3a3 或32a1.若3a3，则a0.此时集合B含有两个元素3，1，符合题意；若32a1，则a1.此时集合B含有两个元素4，3，符合题意综上所述，满足题意的实数a的值为 0 或1.规律方法 1.由于集合B含有两个元素，3B，本题以3 是否等于a3 为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验2解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准跟踪演练 3 已
7、知集合Aa1，a21，若 0A，则实数a的值为_答案 1解析 0A，0a1 或 0a21.当 0a1 时，a1，此时a210，A中元素重复，不符合题意当a210 时，a1.a1(舍)，a1.此时，A2,0，符合题意.41下列能构成集合的是( )A中央电视台著名节目主持人B我市跑得快的汽车C上海市所有的中学生D香港的高楼答案 C解析 A、B、D 中研究的对象不确定，因此不能构成集合2集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是( )A0A BaA CaA DaA答案 C解析 由题意知A中只有一个元素a，aA，元素a与集合A的关系不能用“” ，也不能确定a是否等于 0，故选 C.3设A表示“中国所
8、有省会城市”组成的集合，则深圳_A；广州_A(填或)答案 解析 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会4已知R R； Q Q；0N N；Q Q；3Z Z.正确的个数为_51 3答案 3解析 是正确的；是错误的5已知 1a2，a，则a_.答案 1解析 当a21 时，a1，但a1 时，a2a，由元素的互异性知a1.1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定若研究对象不确定，则不能构成集合2集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足aA，要么满足aA，两者必居其一这也是判断一组对象能否构成集合的依据3集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足
9、集合中元素的互异性.5一、基础达标1有下列各组对象：接近于 0 的数的全体；比较小的正整数的全体；平面上到点O的距离等于 1 的点的全体；直角三角形的全体其中能构成集合的个数是( )A2B3C4D5答案 A解析 不能构成集合， “接近”的概念模糊，无明确标准不能构成集合， “比较小”也是不明确的，多小算“比较小”没明确标准均可构成集合，因为任取一个元素是不是此集合的元素有明确的标准可依2已知集合A由x1 的数构成，则有( )A3AB1AC0AD1A答案 C解析 很明显 3,1 不满足不等式，而 0，1 满足不等式3若一个集合中的三个元素a，b，c是ABC的三边长，则此三角形一定不是( )A锐角
10、三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形答案 D解析 根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形4已知集合A含有三个元素 2,4,6，且当aA时，有 6aA，则a为( )A2B2 或 4C4D0答案 B解析 若a2A，则 6a4A；或a4A，则 6a2A；若a6A，则6a0A.故选 B.5已知集合A中只含有 1，a2两个元素，则实数a不能取的值为_答案 1解析 由a21，得a1.6若xN N，则满足 2x50 的元素组成的集合中所有元素之和为_答案 36解析 由 2x50，得x ，又xN N，5 2x0,1,2，故所有元素之和为 3.7判断下列说法是否正确？并说明理由(1)参加 2012
11、 年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5， 组成的集合含有四个元素；3 21 2(4)我校的年轻教师构成一个集合解 (1)正确因为参加 2012 年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的(2)不正确因为高科技产品的标准不确定(3)不正确对一个集合，它的元素必须是互异的，由于 0.5 ，在这个集合中只能作为一1 2个元素，故这个集合含有三个元素(4)不正确因为年轻没有明确的标准二、能力提升8已知集合A是由 0，m，m23m2 三个元素组成的集合，且 2A，则实数m的值为( )A2B3C0 或 3D0,2,3 均可答案 B解析 因为 2A，所以m2
12、或m23m22，解得m0 或m2 或m3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一验证可得m3，故选 B.9已知集合P中元素x满足：xN N，且 2xa，又集合P中恰有三个元素，则整数a_.答案 6解析 xN N，且 2xa，结合数轴知a6.10如果有一集合含有三个元素 1，x，x2x，则实数x的取值范围是_答案 x0,1,2，.1 52解析 由集合元素互异性可得x1，x2x1，x2xx，解得x0,1,2，.1 5211已知集合A是由a2,2a25a,12 三个元素组成的，且3A，求实数a.解 由3A，可得3a2 或32a25a，a1 或a .3 2则当a1 时，a23,2a25a3
13、，不符合集合中元素的互异性，故a1 应舍7去当a 时，a2 ，2a25a3，a .3 27 23 2三、探究与创新12设P、Q为两个非空实数集合，P中含有 0,2,5 三个元素，Q中含有 1,2,6 三个元素，定义集合PQ中的元素是ab，其中aP，bQ，则PQ中元素的个数是多少？解 当a0 时，b依次取 1,2,6，得ab的值分别为 1,2,6；当a2 时，b依次取 1,2,6，得ab的值分别为 3,4,8；当a5 时，b依次取 1,2,6，得ab的值分别为 6,7,11.由集合元素的互异性知PQ中元素为 1,2,3,4,6,7,8,11，共 8 个13设A为实数集，且满足条件：若aA，则A(a1)1 1a求证：(1)若 2A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集证明 (1)若aA，则A.1 1a又2A，1A.1 121A， A.1111 2 A，2A.1 21112A中另外两个元素为1， .1 2(2)若A为单元素集，则a，1 1a即a2a10，方程无解a，集合A不可能是单元素集1 1a
