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1、 16.与新定义、推理证明有关的压轴小题与新定义、推理证明有关的压轴小题1.有三支股票 A，B，C，28 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有 A 股票的人中，持有 B 股票的人数是持有 C 股票的人数的 2 倍，在持有 A 股票的人中，只持有 A 股票的人数比除了持有 A 股票外同时还持有其它股票的人数多 1.在只持有一支股票的人中，有一半持有 A 股票，则只持有 B 股票的股民人数是( )A.7 B.6 C.5 D.4答案 A解析 设只持有 A 股票的人数为 X(如图所示)，则持有 A 股票还持有其它股票的人数为 X1(图中 def 的部分)，因为只持有一支股票的人
2、中，有一半没持有 B 或 C 股票，则只持有了 B 或 C 股票的人数和为 X(图中 bc 部分).假设只同时持有了 B 和 C 股票的人数为 a，那么 XX1Xa28，即 3Xa29，则 X的取值可能是：9，8，7，6，5，4，3，2，1.与之对应的 a 值为：2，5，8，11，14，17，20，23，26.因为没持有 A 股票的股民中，持有 B 股票的人数为持有 C 股票人数的 2 倍，得ba2(ca)，即 Xa3c，故 X8，a5 时满足题意，故 c1，b7，故只持有 B 股票的股民人数是 7，故选 A.2.已知集合 A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x
3、，yZ，定义集合 AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则 AB 中元素的个数为( )A.77 B.49 C.45 D.30答案 C解析 因为集合 A(x，y)|x2y21，x，yZ所以集合 A 中有 5 个元素(即 5 个点)，集合B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ中有 25 个元素(即 25 个点)，集合AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B的元素可看作正方形 A1B1C1D1中的横纵坐标都为整数的点(除去四个顶点)，即 77445(个).23.某学校要招开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大
4、于 6 时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 yx(其中x表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( )A.y B.y C.y D.yx510x410x310x10答案 C解析 根据题意，当 x16 时，y1，所以选项 A，B 不正确，当 x17 时，y2，所以 D不正确，故选 C.4.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A.设数列an的前 n 项和为 Sn，由 an2n1，求出 S112，S222，S332，推断：Snn2B.由 f(x)xcos x 满足 f(x)f(x)对xR 都成立，推断：f(x)xcos x 为奇函数C.由圆 x
5、2y2r2的面积 Sr2，推断：椭圆1(ab0)的面积 Sabx2a2y2b2D.由(11)221，(21)222，(31)223，推断：对一切 nN*，(n1)22n答案 A解析 选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列an是等差数列，其前 n 项和 Snn2，选项 D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确.n12n125.给出以下数对序列：(1，1)(1，2)(2，1)(1，3)(2，2)(3，1)(1，4)(2，3)(3，2)(4，1)若第 i 行的第 j 个数对为 aij，如 a43(3，2)，则 anm等于( )A.(m，nm1) B.(m1，nm) C.(m1，nm1)
6、D.(m，nm)答案 A解析 由前 4 行的特点，归纳可得：若 anm(a，b)，则am，bnm1，anm(m，nm1).6.若函数 f(x)，g(x)满足 f(x)g(x)dx0，则称 f(x)，g(x)为区间1，1上的一组正交函数.11给出三组函数：f(x)sin x，g(x)cos x；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间12121，1上的正交函数的组数是( )3A.0 B.1 C.2 D.3答案 C解析 对，dxsin xdx cosx|0，则 f(x)，g(x)为区间11(sin 12xcos 12x)111212111，1上的正交函数；对，(x1)(x1
7、)dx(x21)dx|0，则 f(x)，g(x)不是区间1，11111(13x3x)11上的正交函数；对，x3dx|0，则 f(x)，g(x)为区间1，1上的正交函数.1114x4117.已知点 A(0，1)，点 B 在曲线 C1：yex1 上，若线段 AB 与曲线 C2：y 相交且交点恰1x为线段 AB 的中点，则称点 B 为曲线 C1与曲线 C2的一个“相关点” ，记曲线 C1与曲线 C2的“相关点”的个数为 n，则( )A.n0 B.n1 C.n2 D.n2答案 B解析 设 B(t，et1)，则 AB 的中点为 P，所以有 ，et ，所以“相关点”的个(t2，et2)et22t4t数就是
8、方程 ex 解的个数，由于 yex的图象在 x 轴上方，且是 R 上的增函数，y 在4x4x(0，)上是减函数，所以它们的图象只有一个交点，即 n1，故选 B.8.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有 3 个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有 4 个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)，把这 4 个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且 3 个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为 n，则 n 等于( )A.7 B.8 C.11 D.15
9、答案 C解析 由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个盘子不同时操作的次数(231)要多，比四个盘子不同时操作的次数(241)要少，相当于与操作三个不同盘子的时候相比，最上面的那个动了几次，就会增加几次，故游戏结束需要移动的最少次数为 11.9.定义域为a，b的函数 yf(x)图象的两个端点为 A，B，M(x，y)是 f(x)图象上任意一点，其4中 xa(1)b，0，1.已知向量(1)，若不等式|k 恒成立，则ONOAOBMN称函数 f(x)在a，b上“k 阶线性近似”.若函数 yx 在1，2上“k 阶线性近似” ，则实数1xk 的取值范围为( )A.0，) B. C.
10、 D.112，)32 2，)32 2，)答案 D解析 由题意可知，A(1，0)，B，(2，32)M，N，(2，212)(2，321)|，MN|3232212| |221232|2，当且仅当，2时，等号成立，22122212222122又0，1，21，2， ，max ，221232|221232|322即实数 k 的取值范围是.32 2，)10.(2017 届四川遂宁、广安、眉山、内江四市联考)已知函数 yf(x)与 yF(x)的图象关于 y轴对称，当函数 yf(x)和 yF(x)在区间a，b同时递增或同时递减时，把区间a，b叫做函数 yf(x)的“不动区间” ，若区间1，2为函数 y的“不动区
11、间” ，则实数 t 的取值范|2xt|围是( )A.(0，2 B. C. D.4，)12，)12，212，2答案 C解析 易知 y|2xt|与 y在1，2上单调性相同，当两个函数递增时，y|2xt|与|(12)xt|y的图象如图 1 所示，易知Error!Error!解得 t2；|(12)xt|125当两个函数递减时，y|2xt|的图象如图 2 所示，此时 y|2xt|关于 y 轴对称的函数 y不可能在1，2上为减函数.|(12)xt|综上所述， t2，故选 C.1211.将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10根据以上排列规律，数阵中第 n(n3)行从左至右的第 3
12、 个数是_.答案 n2n62解析 前 n1 行共有正整数 12(n1)个，即个，因此第 n 行从左nn12n2n2至右的第 3 个数是全体正整数中第3 个，即为.n2n2n2n6212.设数列an的前 n 项和为 Sn，若为常数，则称数列an为“精致数列”. 已知等差数SnS2n列bn的首项为 1，公差不为 0，若数列bn为“精致数列” ，则数列bn的通项公式为_.答案 bn2n1(nN*)解析 设等差数列bn的公差为 d，由为常数，设k 且 b11，得 n n(n1)dkSnS2nSnS2n12，即 2(n1)d4k2k(2n1)d，2n12 2n2n1d整理得(4k1)dn(2k1)(2d
13、)0，因为对任意正整数 n 上式恒成立，则Error!Error!解得 d2，k ，14所以数列bn的通项公式为 bn2n1(nN*).13.已知 cos ，312cos cos ，525146cos coscos ，7273718，(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是_；(2)若数列an中，a1cos ，a2cos cos，a3cos coscos，352572737前 n 项和 Sn，则 n_.1 0231 024答案 (1)coscoscos(nN*) (2)102n122n1n2n112n解析 (1)从题中所给的几个等式可知，第 n 个等式的左边应有 n 个余弦相乘，且分母均为2n
14、1，分子分别为，2，n，右边应为，故可以猜想出结论为12ncoscoscos(nN*).2n122n1n2n112n(2)由(1)可知 an，12n故 Sn1，121(12)n11212n2n12n1 0231 024解得 n10.14.(2016四川)在平面直角坐标系中，当 P(x，y)不是原点时，定义 P 的“伴随点”为 P；当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点”为它自身，平面曲线 C 上所有点的(yx2y2，xx2y2)“伴随点”所构成的曲线 C定义为曲线 C 的“伴随曲线”.现有下列命题：若点 A 的“伴随点”是点 A，则点 A的“伴随点”是点 A；单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线”C关于 y 轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_.(写出所有真命题的序号)答案 解析 对于，若令 A(1，1)，则其伴随点为 A，而 A的伴随点为(12，12)(12，12)(1，1)，而不是P.故错误；对于，令单位圆上点的坐标为P(cos x
