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1、高 等 代 数 6.6 子空间的交与和第六节 子空间的交与和第六章 线性空间Linear Space6.6 子空间的交与和1. 定义定义1 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空间, 称V1 V2 = | V1 且 V2 为 V1 , V2 的交.一、子空间的交6.6 子空间的交与和2. 性质定理 1 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空间, 那么它们的交V1 V2 也是 V 的子空间.证明首先，由 0 V1 ， 0 V2 ， 可知 0 V1 V2 ，因而 V1 V2 是非空的.其次, 如果 , V1 V2 , 即 , V1 ，而且 , V2 ， + V1 ， + V2 ，对
2、数量乘积可以同样地证明.所以V1 V2 是 V 的子空间.证毕那么因此 + V1 V2 .6.6 子空间的交与和3. 子空间的交的运算规律1) 交换律 V1 V2 = V2 V1 ；2) 结合律 (V1V2 ) V3 = V1(V2 V3 ) .可以定义多个子空间的交：它也是子空间.6.6 子空间的交与和1. 定义定义 2 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空间, 称为V1 ，V2 的和.V1 + V2 = | = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 二、子空间的和6.6 子空间的交与和2. 性质定理 2 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空间，那么它们的和 V1 +
3、V2 也是 V 的子空间.证明其次 , 如果 , = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 , = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 , 那么 + = (1 + 1 ) + (2 + 2 ) .首先，由 0 V1 ，0 V2 ，可知 0 V1 + V2 ，因而 V1 + V2 是非空的.V1 + V2 , 即6.6 子空间的交与和又因为 V1 , V2 是子空间，故有1 + 1 V1 ，2 + 2 V2 .因此 + V1 + V2 .同理k = k1 + k2 V1 + V2 .所以， V1 + V2 是 V 的子空间.证毕6.6 子空间的交与和3. 子空间的和的运算规律1) 交换律
4、V1 + V2 = V2 + V1 ；2) 结合律 (V1 + V2 ) + V3 = V1+ (V2 + V3 ) .可以定义多个子空间的和：的向量组成的子空间 .它是由所有表示成1 + 2 + + s , i Vi ( i = 1 , 2 , , s )6.6 子空间的交与和性质 1 设 V1 , V2 , W 都是子空间，那么由W V1 与 W V2 可推出 W V1 V2 ；而由W V1 与 W V2可推出 W V1 + V2 .性质 2 对于子空间 V1 , V2 , 以下三个论断是等价的：1) V1 V2 ；2) V1 V2 = V1 ；3) V1 + V2 = V2 .三、子空间
5、的交与和的性质6.6 子空间的交与和例 1 设 V1 = L(1 , 2 ) , V2 = L(1 , 3 ) 是 R3两个不同的 2 维子空间，求 V1 V2 和 V1 + V2 ，并指出它们的几何意义.解 因为 V1 和 V2 是两个不同的子空间，所以1 , 2 , 3 线性无关，从而 V1 = V2 与题设矛盾. 于是由子空间的交与和的定义可得 V1 V2 = L(1 )，V1 + V2 = L(1 , 2 , 3 ) = R3 .否则 3 可由 1 , 2 线性表示四、例题6.6 子空间的交与和其几何意义是：V1 = L(1 , 2 ) 是向量 1 , 2 所确定的平面，的平面，是整个
6、 3 维空间. V2 = L(1 , 3 ) 是向量 1 , 3 所确定V1 V2 是这两个平面的交线， V1 + V2oxyz123V1V2V1 V26.6 子空间的交与和例 2 设 V1 , V2 分别是 R3 过原点的直线和平面(直线不在平面上)上的全体向量构成的子空间，求 V1 V2 和 V1 + V2 ，并指出它们的几何意义.解 由定义容易求得V1 V2 = 0 ，V1 + V2 = R3 .V1V21xoyz6.6 子空间的交与和例 3 设 V1 , V2 分别是 P 3 中齐次线性方程组与6.6 子空间的交与和的解空间，那么 V1 V2 就是齐次方程组的解空间.6.6 子空间的交
7、与和例 4 在一个线性空间 V 中，有L(1 , 2 , , s ) + L(1 , 2 , , t )=L(1 , , s , 1 , , t )6.6 子空间的交与和定理 3 (维数公式) 如果 V1 , V2 是线性空间V 的两个有限维子空间，那么 V1 + V2 也是有限维的, 且dimV1 +dimV2 = dim (V1 + V2 ) + dim (V1 V2 ) .五、子空间的交与和的维数6.6 子空间的交与和证明 设 dimV1 =s, dimV2 = t , dim(V1V2 )= m. 先设 m0 , 取 V1V2 的一个基 1 , 2 , , m .把它扩充成 V1 的一
8、个基1 , 2 , , m , 1 , , s - m ,因为所以 m s , m t . 再扩充成 V2 的一个基1 , 2 , , m , 1 , , t - m .下面证明向量组1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m 是 V1 + V2 的一个基.这样， V1 + V2 的维数就等于s + t - m , 因而维数公式成立.6.6 子空间的交与和因为V1 = L(1 , 2 , , m , 1 , , s - m ) ,V2 = L(1 , 2 , , m , 1 , , t - m ) .所以V1+V2 = L(1 , , m , 1 , , s
9、 - m , 1 , , t - m ).现在来证明向量组1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m 是线性无关的.假设有等式6.6 子空间的交与和k11 + k22 + + kmm+ p11 + p22 + + ps - m s - m+ q11 + q22 + + qt - m t - m = 0 .令 = k11 + + kmm + p11 + + ps - m s - m= - q11 - q22 - - qt - m t - m . = k11 + + kmm + p11 + + ps - m s - m由由 = - q11 - q22 - - q
10、t - m t - m 可知， V1 ；可知， V2 .于是 V1V2 ， 故 可以被 6.6 子空间的交与和1 , 2 , , m 线性表示.令 = l11 + + lmm ,则l11 + + lmm + q11 + + qt - m t - m = 0 .由于 1 , , m , 1 , , t - m 线性无关，所以l1 = = lm = q1 = = qt - m =0 ,因而 = 0.从而有k11 + + kmm + p11 + + ps - m s - m = 0 .由于 1 , , m , 1 , , s - m 线性无关，又得k1 = = km = p1 = = ps - m
11、=0 .6.6 子空间的交与和所以 1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m 线性无关，式成立.证毕因而它是 V1 + V2 的一个基，故维数公注 两个子空间和的维数一般比维数的和小.例如，在三维几何空间中，两个通过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其维数之和却等于 4 . 说明这两个平面的交是一维的直线.若 m = 0 , 则V1V2 =0, 取V1的基1 , , s 与V2的基1 , , t , 同理可证. 6.6 子空间的交与和推论 如果 n 维线性空间 V 中两个子空间 V1, V2 的维数之和大于 n , 那么 V1 , V2 必含有非零的公
12、共向量.证明 由假设dim(V1 + V2 ) + dim (V1V2 ) = dimV1 + dimV2 n.但因为 V1 + V2 是 V 的子空间, 故有dim(V1 + V2 ) n ,所以dim(V1V2 ) 0 .这就是说， V1V2 中含有非零向量. 即V1 , V2 含有非零的公共向量.证毕 6.6 子空间的交与和例 5 设 V = P 4，V1 = L(1 , 2 , 3 )，L(1 , 2)，其中求V1, V2 , V1V2 , V1 + V2 的维数与基.V2 =6.6 子空间的交与和解 因为V1 + V2 = L(1 , 2 , 3 ) + L(1 , 2)= L(1
13、, 2 , 3 , 1 , 2) ,所以向量组 1 , 2 , 3 , 1 , 2 的一个极大无关组就是 V1 + V2 的一个基.把向量组 1 , 2 , 3 , 1 , 2 中的每个向量作为矩阵的一列，构造矩阵 A，对A进行初等行变换，化成最简形：6.6 子空间的交与和行变换行变换6.6 子空间的交与和由 A 的最简形矩阵1 , 2 , 1 线性无关，且 2 = 1 - 32 + 41 . 于是1 , 2 , 1 是 V1 + V2 的一个基，dim( V1 + V2 ) = 3；1 , 2 是 V1 的一个基，dimV1 = 2；1 , 2 是V2 的一个基，dimV2 = 2 .6.6 子空间的交与和由 2 = 1 - 32 + 41 得1 - 32 = - 41 + 2 = (4, 5, -7, - 6) V1V2 .因为dim(V1V2 ) = dimV1 + dim V2 - dim (V1 + V2 ) = 2 + 2 - 3 = 1 .于是 (4, 5, -7, - 6) 是 V1V2 的一个基.6.6 子空间的交与和
