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1、第一章第一章 三角函数三角函数1 例说弧度制中的扇形问题与扇形有关的问题是弧度制中的难点，我们可以应用弧长公式l|r和扇形面积公式S |r2解决一些实际问题，这类问题既充分体现了弧度制在运算上的优越性，又能帮助1 2我们加深对弧度制概念的理解.下面通过几例帮助同学们分析、归纳弧度制下的扇形问题.例 1 已知扇形的圆心为 60，所在圆的半径为 10，求扇形的弧长及扇形中该弧所在的弓形面积.解 设弧长为l，弓形面积为S弓，则60，r10，所以lr，所以S 310 3弓S扇Slrr2sin 50.1 21 2( 332)评注 本题利用扇形面积求弓形面积，解题时要根据具体问题进行分割，再求解.例 2
2、扇形的半径为R，其圆心角(0)为多大时，扇形内切圆面积最大，其最大值是多少？解 如图，设内切圆半径为r. 则(Rr)sin r，所以r， 2Rsin 21sin 2则内切圆的面积Sr22R22.(Rsin 21sin2)(sin 21sin 2)因为，且 0，sin 21sin 2111sin 2 2 2所以当，即 时，Smax. 2 2R2 4评注 解决扇形问题要注意三角形一些性质的应用，建立相等关系，进而求解.例 3 已知扇形的周长为 30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案2大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为，
3、半径为r，面积为S，弧长为l，则有l2r30，所以l302r，从而Slr (302r)rr215r2cm2，所以当半径1 21 2(r15 2)225 4rcm 时，扇形面积最大，为cm2.这时 2.15 2225 4l r评注 本题是利用扇形面积公式建立二次函数，进而求二次函数的最值.此题是扇形周长一定时，求扇形的面积的最大值，利用此法也可以求当扇形的面积一定其周长的最小值问题.针对练习：1.扇形的周长C一定时，它的圆心角取何值才能使扇形面积S最大？最大值是多少？2.在扇形AOB中，AOB90，弧AB的长为l，求此扇形内切圆的面积.3.已知扇形AOB的周长是 6 cm，该扇形的中心角是 1
4、弧度，求该扇形的面积.答案 1.2 时，扇形面积最大，最大值为.C2 162.Sr2l2.128 23.2 cm2.2 任意角三角函数问题错解辨析任意角三角函数是三角函数的基础，在学习这部分内容时，有的同学经常因为概念不清、考虑不周、观察代替推理等原因而错解题目，下面就解题中容易出现的错误进行分类讲解，供同学们参考.一、概念不清例 1 已知角的终边在直线y2x上，求 sin cos 的值.错解 在角的终边所在直线y2x上取一点P(1，2)，则r.12225所以 sin cos .y rx r25153 55剖析 错解未弄清直线与角的终边的区别，误认为在角的终边所在直线上取一点与角的终边上任取一
5、点都可以确定角的三角函数值，由任意角三角函数的定义知这是错误的.正解 在直线y2x的第一象限部分取一点P(1，2)，则r.12225所以 sin cos .y rx r25153 55在直线y2x的第三象限部分取一点P(1，2)，则r.122252018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案3所以 sin cos .y rx r25153 55综上，sin cos 的值为或.3 553 55二、观察代替推理例 2 当(0，)时，求证：sin cos 7 73 145 14 2 7cos ，3 145 14即cos sin cos .8 72 75 14点评 比较三角函数值的大小关键是利用三
6、角函数某区间的单调性，一般按下列步骤进行：将不同名的三角函数化为同名三角函数；用诱导公式将角化到同一单调区间，并比较角的大小；由单调性得出各值的大小关系.二、重拳出击求解最值例 2 已知f(x)sin(2x)，xR R.求函数f(x)在区间，上的最小值和最大2 4 83 4值.解 因为当 2k2x2k(kZ Z)， 2 4 2即kxk(kZ Z)时， 83 8函数f(x)sin(2x)单调递增；2 4当 2k2x2k(kZ Z)， 2 43 2即kxk(kZ Z)时，函数单调递减，3 87 8所以f(x)sin(2x)在区间，上为增函数，在区间，上为减函数.2 4 83 83 83 4又f()
7、0，f()，f()1. 83 823 4故函数f(x)在区间，上的最大值为，最小值为1. 83 42点评 求三角函数的最值是一类重要的三角问题，也是高考中经常出现的考点，解题过程中要注意将x看作一个整体.利用三角函数的单调性求最值是三角函数基础知识的综合运用.三、触类旁通解不等式例 3 若 0cos ，求的取值范围.332018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案7解 当时，不等式成立，当时，不等式不成立.当0，)(，2时， 23 2 23 2cos 0，则原不等式可化为 tan ，根据正切函数的单调性得，cos x成立的x的取值范围是_.解析 在同一坐标系中画出ysin x，ycos
8、x，x(0，2)的图象如图.由图知，x(，). 45 4答案 (，) 45 4点评 求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单.二、分类讨论思想例 2 证明：(1)ncos ，nZ Z.2sinncosnsinnsinn证明 当n为偶数时，令n2k，kZ Z，左边2sin2kcos2ksin2ksin2kcos .2sin cos sin sin 2sin cos 2sin 右边(1)2kcos cos ，左边右边.当n为奇数时，令n2k1，kZ Z，左边2sin2kcos2ksin2ksin2k2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案82sincossinsi
9、n2sin cos sin sin cos .2sin cos 2sin 右边(1)2k1cos cos ，左边右边.综上所述，(1)ncos ，nZ Z 成立.2sinncosnsinnsinn点评 解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简，如果被化简式子中的角是k(kZ Z)的形式，往往对参数k进行讨论.常见的一些关于参数k的结论有sin(k)(1)ksin (kZ Z)；cos(k)(1)kcos (kZ Z)；sin(k)(1)k1sin (kZ Z)；cos(k)(1)kcos (kZ Z)等.三、函数与方程的思想例 3 函数f(x)cos xsin2x(x)的最大值是_.3 6
10、3解析 f(x)cos xsin2xcos2xcos x133(cos x)2 ，327 4设 cos xt，因为x，所以由余弦函数的单调性可知， cos x，即 6 31 232t，又函数f(t)(t)2 在 ，上单调递增，故f(t)maxf() ，所以1 232327 41 232325 4f(x)的最大值为 .5 4答案 5 4点评 遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值.四、转化与化归思想例 4 比较 tan()与 tan()的大小.13 417 5解 tan()tan，tan()tan.13 4 417 52 5因为 0tan， 42 52018 年新人教 A 版高
11、中数学必修 4 导学案9即 tan()tan().13 417 5点评 三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的转化与化归思想.6 三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象.下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会.一、定义域例 1 函数y 的定义域为_.cos x12解析 由题意得 cos x ，1 2所以 2kx2k，kZ Z. 3 3即函数的定义域是2k，2k，k
12、Z Z. 3 3答案 2k，2k，kZ Z 3 3点评 解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.二、值域与最值例 2 函数ycos(x)，x(0，的值域是_. 3 3解析 因为 00，然后把x看做一个整体，根据ysin x的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；如果要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的k进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间.四、周期性与对称性例 4 已知函数f(x)sin(2x)(0)的最小正周期为 ，则函数f(x)的图象的一条 3对称轴方程是( )A.x B.x C.x D.x 12 65 12 3201
13、8 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案11解析 由T得1，所以f(x)sin(2x)，2 2 3由 2xk，kZ Z， 3 2解得f(x)的对称轴方程为x，kZ Z，5 12k 2所以x为f(x)的一条对称轴，故选 C.5 12答案 C点评 解本题的关键是先由周期公式求得的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是根据对称轴的特征对应的函数值为函数的最值解决.同样地，求解对称中心也有两种方法.五、奇偶性例 5 若函数f(x)sin(0，2)是偶函数，则等于( )x 3A. B. C. D. 22 33 25 3解析 因为函数是偶函数，所以函数关于x0
14、 对称；由k 可得函数的对称轴方程是x3k，kZ Z，令x 3 23 23k0，解得3k，kZ Z，3 23 2又0，2)，故.3 2答案 C点评 解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数函数图象关于y轴对称；奇函数函数图象关于原点对称.7 数形结合百般好，形象直观烦琐少构建正弦、余弦函数图象解题正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题.一、确定函数的值域例 1 定义运算ab为abError!例如，121，则函数f(x)sin xcos x的值域为( )2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案12A.1，1 B.22，1C. D.
