2018年人教版高中数学必修四第二章平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意义导学案

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1、2.2.22.2.2 向量减法运算及其几何意向量减法运算及其几何意义义学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算.知识点一相反向量思考实数a的相反数为a，向量a a与a a的关系应叫做什么？答案相反向量.梳理 (1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量.(2)性质：对于相反向量有：a a(a a)0 0.若a a，b b互为相反向量，则a ab b，a ab b0 0.零向量的相反向量仍是零向量.知识点二向量的减法思考根据向量减法的定义，已知a a，b b如图，如何作出向量a

2、 a，b b的差向量a ab?b?答案 (1)利用平行四边形法则.如图，在平面内任取一点O，作a a，b b，b b，以，为邻边作平行四边形OAOBOCOAOCOAEC，2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案2则a ab b.OE(2)利用三角形法则.如图，在平面内任取一点O，作a a，OAb b，则a ab b.OBBA知识点三 |a a|b b|，|a ab b|，|a a|b b|三者的关系思考在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a a|b b|，|a ab b|，|a a|b b|三者关系是怎样的？答案它们之间的关

3、系为|a a|b b|a ab b|a a|b b|.梳理当向量a a，b b不共线时，作a a，b b，则a ab b，如图(1)，根据三角形的三OAABOB边关系，则有|a a|b b|b b|，作法同上，如图(3)，此时|a ab b|a a|b b|.故对于任意向量a a，b b，总有|a a|b b|a ab b|a a|b b|.因为|a ab b|a a(b b)|，所以|a a|b b|a ab b|a a|b b|，即|a a|b b|a ab b|a a|b b|.将两式结合起来即为|a a|b b|a ab b|a a|b b|.类型一向量减法的几何作图例 1 如图，

4、已知向量a a，b b，c c不共线，求作向量a ab bc c. 解方法一如图，在平面内任取一点O，作a a，b b，则a ab b，再作c c，OAABOBOC则a ab bc c.CB2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案3方法二如图，在平面内任取一点O，作a a，b b，则a ab b，再作c c，连接OAABOBCBOC，则a ab bc c.OC引申探究若本例条件不变，则a ab bc c如何作？解如图，在平面内任取一点O，作a a，b b，则a ab b.再作c c，则OAOBBACAa ab bc c. BC反思与感悟求作两个向量的差向量时，当两个向量有共

5、同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量.跟踪训练 1 如图所示，已知向量a a，b b，c c，d d，求作向量a ab b，c cd d. 解如图所示，在平面内任取一点O，作a a，b b，c c，d d.OAOBOCOD则a ab b，c cd d.BADC类型二向量减法法则的应用例 2 化简下列式子：(1)；NQPQNMMP2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案4(2)()().ABCDACBD解 (1)原式0 0.NPMNMPNPPNNPNP(2)原式ABCDACBD()(

6、)0 0.ABACDCDBCBBC反思与感悟向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点.跟踪训练 2 化简：(1)()()；BABCEDEC(2)()().ACBOOADCDOOB解 (1)()()BABCEDEC.CACDDA(2)()()ACBOOADCDOOB()ACBADCDOOBACBADCDBBCDCDBBCCDDB0 0.BCCB类型三向量减法几何意义的应用例 3 已知|6，|9，求|的取值范围.ABADABAD解 |，且|9，|6，3|15.ABADABADABADADAB

7、ABAD当与同向时，|3；ADABABAD当与反向时，|15.ADABABAD|的取值范围为3，15.ABAD反思与感悟 (1)如图所示，平行四边形ABCD中，若a a，b b，则a ab b，a ab b. ABADACDB2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案5(2)在公式|a a|b b|a ab b|a a|b b|中，当a a与b b方向相反且|a a|b b|时，|a a|b b|a ab b|；当a a与b b方向相同时，|a ab b|a a|b b|.(3)在公式|a a|b b|a ab b|a a|b b|中，当a a与b b方向相同，且|a a|b b|时，

9、b和b ba aD.b ba a和b ba a答案 B解析由向量的加法、减法法则，得a ab b，ACABADb ba a.BDADAB故选 B.2.化简的结果等于( )OPQPPSSP2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案6A. B. C. D.QPOQSPSQ答案 B3.若菱形ABCD的边长为 2，则|_.ABCBCD答案 2解析 |ABCBCD| |ABBCCD|2.|ACCD| |AD|4.若向量a a与b b满足|a a|5，|b b|12，则|a ab b|的最小值为_，|a ab b|的最大值为_.答案 7 17解析由|a a|b b|a ab b|a a|b b

10、|，|a a|b b|a ab b|a a|b b|可得.5.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且a a，b b，c c，试用ABACAEa a，b b，c c表示向量，，，及.BDBCBECDCE解四边形ACDE是平行四边形，c c，CDAEb ba a，BCACABc ca a，BEAEABc cb b，CEAEACb ba ac c.BDBCCD1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，就可以把减法转化ABBA为加法.即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a ab ba a(b b).2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两

11、向量的终点，箭头指向被减向量”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.3.以平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别表示向量a a，b b，则两条对角线表示的向ABAD2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案7量为a ab b，b ba a，a ab b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.ACBDDB课时作业课时作业一、选择题1.化简所得的结果是( )PMPNMNA. B.MPNPC.0 D.MN答案 C解析 0 0.PMPNMNNMMN2.已知一点O到ABCD的 3 个顶点A，B，C的向量分别是a a，b b，c c，则向量等于( )ODA.a ab bc c B.a

12、 ab bc cC.a ab bc c D.a ab bc c答案 B解析如图所示，a ab bc c.故选 B. ODOAADOABCOAOCOBOAOBOC3.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )A.0 0 B.ABDCADBAACC. D.0 0ABADBDADCB答案 C解析，ABDC0 0，A 正确；ABDC，B 正确；ADBAADABAC，C 错误；ABADABDADB，ADBCADCB2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案80 0，D 正确.ADCB4.如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则( ) A.0 0ADBECFB.0 0BD

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