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1、解题方法 数学通讯 一 2 0 1 4年第 6期 ( 下半月) 2 1 求解圆锥 曲线中一类定点定 向问题 孔 峰 ( 湖北省武汉市教育科学研究院，4 3 0 0 2 2 ) 本人曾在文 1 中介绍过圆锥曲线中的一个定 值问题 ， 现在经过研究又发现一些更一般 的结论 ， 下 面仍 以定理形式给出 定理 1 如图 1 ， 过椭 圆 r： 十 =l内部一定 以 点 P( 0 ， Y o )( Y 0 0 ) 作两 直线 A B、 C D交椭圆r于 点 A、 B、 C、 D， 直 线 AB、 C D 的斜率分别 记 作 忌 1 ， k 2 ， 弦 A B、 C D的中点记为 M 、 N， 直线 M
2、N 的斜率记为 k y 一 (1 ) 若 k 1 + k 2 = 0 , lJ 舞； 图 1 ( 2 ) 若 k 1 +k 2 ： ( 为定值， O ) ， 则直线 M N 定 点 ( ， 一 等tZ2 ) ； “ 一 ( 3 ) 若 k 1 k 2 = ( 为常数， 0 ) ， 则直线 MN恒过定点( 口 2 0 a2 一6 2 一 b) a2 ； I一 2 证明 ( 1 )直线 A B 的方程为 YY 0 ：k l ( z 。 ) ，代 入 椭 圆 方 程 享 + 享 = l 中 ，整 理 得 ( a 2 +6 2 ) z 2 + 2 a 2 k 1 ( o k l X 0 x+ 2 (
3、o k l ,2 7 0 ) 一a 2 b ：O 设 M c X M ,Y M ， lJ TSM = 释 代 人 晰一 Y o= k 1( z M X o ) ， 得 Y M 6 ( 0 一k x o ) n 墙+b 。同理可求得 zN = 三 等 ， N = 鱼 所 以， k= Y M Y N S C M S t 7 N 62 =一-_： 口 。 62 一 n 口 Yo kl xo 口 尼 +b Y o k 2 x o 口 尼 ； +b k 1 ( Y o k l 0 ) 口 忌 +b 志 2 ( 。 一k 2 X O ) aZ k ； +b ( k 1 +k z ) 口 Y o k l 尼
4、 2 盘 3 g 0 +b 2 X o ( 尼 l +忌 2 ) 6 X o +k l 尼 2 口 0 一b 2 y 0 ( 1 ) 若 k 1 +k 2 =0 ， 则由式知 足： 一 a2 y o (二 k l k z a 2-b 2 ) = a 2 墅yo( 为定值) 一一一L 疋LE L ( 2 ) 若 k l +k 2 = ( 为定值， 0 ) ， 则由 式可知 ， b2 息 一 。 口 直线 MN 的方程为 6 ( 0 一k l 0 ) 一 6 2 一 口 。 l 十 一 J 下而我们说明直线 MN过定点 为 x o ( a k +6 ) + ( o le l x o ) =,u a
5、 Y 0 一k l ( 一忌 1 ) 口 S C 0 +b 2 x O p a 。2 y o - k 1。 ( ,U-k l)aZxo+ b a xo z o + 是 1 ( 一 是 1 ) Y o b 2 Y o 0 b + o ( ,u a k 1 一a 2 k 一b 2 ) ( 。 一 Y o ) ( a k 十b 2 ) +v a k l ( y o 一 i z 0 ) ， 所 以 口 ( 一k xX O Y o 0 ) 口 。 一 口 忌 +6 z一 6 6 + 一一 )一 ) 一息 二 一 尼 一 是 i 0一 O 66 + 一一 一 )一 ) 一 二 一 ， 一 足 一 是 一一
6、 十 丝 6 6 十 一一 志 一 忌 二一 忌 一 忌 一一 + 跏 丝 2 2 数学通讯 一 2 0 1 4年第6期 ( 下半月) 解题方法 u a 2 y o - k i ( 2 -k l ) )an2：x o。+一b62 x 。o 6 z 0 十 1 ( 一是 1 ) n o 一6 o + 所以 b 2 zO 62 以 。 a 2k l( Y O - klX o) a +b b 2 (yo - k 1xo) k +b b 2 0 b 2 yO 【+ azkl( yo-k xo) 盘 。 砖 + b 即 ( m： o -，yo，_-3 2 220， 一, - 足方程， 故 直线 j N
7、定点( ， 一 ) _ ( 3 ) 若 k l “ 忌 2 = ( 为常数， 0 ) ， 则由式 可 知 尼 ： 一 等 ( k l-+ ) a a y o - )a a x o +一b62：x 。o 直线 MN 的方程为 一 b2 (y。o-k lxo ) a 2 k +b a2 k l (0 一 忌 Q ! 足 十b 下面我们说明直线 MN过定点 因为 盘 o ( 是 + ) 一( 盘 一b E ) k l x o ( k1 + )a2y o-)aZxo+ bZ xo ( 走 1 + h-1-) b 2 x o + a 2 y o -6 。 6 2 0 ( 十愚 ) +( 口 一b 2 )
8、 k l Y o ， 又 0 ( 忌 j + ) 一( 口 。 一 b z ) k l x o =Y o ( a 2 k i +6 ) +( 口 b 2 ) ( o k l x o ) ， b 2 z 0 ( +悫 ) +( a 一b E ) k l o =2 X o ( n 。 志 + 6 ) 十足 1 ( o 一尼 1 z o ) ( 。 b 2 ) ， 所以 o( a 2 患 +b 2 ) +( 口 A b E ) ( y o -k l x o ) n2 O一 2 a2 O+ 6 2 z0 6 2 zo+ 2 a2 Yo一 6 2 Yo 0 ( 口 忌 +b 2 ) +尼 l ( 0 一
9、 1 z 0 ) ( 以 b 2 ) ， 从而可得 厕Y O + Y o - k x o b 一6 n 忌 + 一 ! 二 盒 兰 ： ! 二 兰 ： 三 二 ! ：=三 ! ( 忌 1 十 A 1_) b Z x o + a 2 y o -6 。 + 所 以一 a A 0 a2 X x0 + 十 即点 ( 2 z O 垒 ! ! Q 二 垒 ! a2 k ； +b 盘2 2 一b2 6 ( 0 一 是 1 z o 2 口 忌 + b ： 墨 ! 二 垒 Q 2 a2 k +b 一 孚 ) 的 坐 标 满 足 方 程 ， 故直线 MN恒过定点( a 2 z O b 2 3 ，O 一 _J b
10、z 说明特别地， 当 =一1即 A B_ L C D 时， 直 线 MN恒过定点( a Z 0 b 2 Y O n2+ b 2 a2+ b 2 另外 ， 上述两个定点可通过下面的方式探求得 到 ， 以( 2 ) 为例进行说明 在式中， 若令 Y o k 1 ( 一k 1 ) a 2 z 0 十 b 2 x o =0 ， 由 。 0知 o 0 ， 故 a 是 +b k1 z 0一Y o ，代入式得 Z O = =一等 又式可变为 6 2 z o +忌 1 ( k 1 ) 口 2 Y o b y o f 6 ( o k l X O) l Y 一 J =一 2 y 0 - ( 1 -k ) a 2
11、x o +b 2 x o f + aa kl (Y O-k 1x o ) 口 k ； +b )一) h h 十 一+ 1 1 忌一 忌 (一( 十 一一 患 一 是 二 一 一 走 一 是 一 一 + 跏 如 一 期 拳 一 一 筹 一 勋 一 h 一 一 _ ， L 1 J 解题方法 数学通讯 一 2 0 1 4年第 6期 ( 下半月) 2 3 若 则 6 2 z o +尼 1 ( 一尼 1 ) 口 2 Y o b 2 y o =0 ， a 忌 +b = ( 6 0 +k l 口 o ) a2 k 1 ( k l z o Y 0 ) a 2 k +b Yo ，此时有 ： ! 墨 ! 墨 !
12、Q 二 Q 2 Q ( 6 0 十k l 口 Y 0 ) 由口 忌 +b 2 - 可得 意 12 + b 2 Yo ： 唼 ， 所以 a Yo k x ( 忌 1 o Y 0 ) = 是 o k l Y 0 = 鱼 墨 Y o 一 等 二 。 一 。 。 L 口 口 J ( 6 2 X 0 + l a 2 y 0 ) ， 代人可得 =t z X o -Y o 1 z 于 是， 可 得定点( ， 一 导) t z a 利用上述同样方式， 可知将椭圆 X - + =1 改 盘 D。 变为双曲线 一 =1时， 只需将 b E 换成 一b 2 就 得到相对应双曲线时的结论 ， 定 理 2 过 不 在
13、双 曲 线 r ： x 2 二 菩 = 1 A = - , P( x o ， Y 0 )( Y O 0 ) 作两条直线 A B、 C D， 交双曲线 r于A、 B、 C、 D， 若直线 AB、 C D 的斜率 分别记作 k l 、 k 2 ， 弦 AB、 C D 的 中点记 为 M 、 N， 直线 MN 的 斜率记为k ( 1 ) k l +k 2 = O ，则“ k= 口b 2 x 。 ； ( 2 ) 若 k 1 +k 2 ： ( 为定值 ， 0 ) ， 则直线 MN恒过定点( ， ) ； p a ( 3 ) 若 k 1 k 2 ： ( 为常数， 0 ) ， 则直线 MN 恒过定点( 口 2 O b 2 y 0 口2 Ab 2 口 2 b 2 ) 定理 3 如图 2 ， 过定 点 P( o ， Y o )( Y o 0 ) 作 两条直线 A B、 C D， 分别交抛物线 r： Y =2 p x于点 A、 B、 C、 D， 若直
