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1、2005-12 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62701055 考研数学三十六技 150考研数学三十六技 150 分杀伤力分杀伤力 考研数学三十六技 150 分杀伤力 考研数学三十六技 150 分杀伤力 微积分下（三十六技之十五） 微积分下（三十六技之十五） 清华大学 数学科学系 谭泽光主讲清华大学 数学科学系 谭泽光主讲 分析“函数结构”是 “抽象函数”导数的计算的关键。分析“函数结构”是 “抽象函数”导数的计算的关键。 例 15-1例 15-1. ),(xyxxfu =，其中有连续的二阶偏导数。求),(yxfyxu 2。 解：)(),(221xyffxxyxfxu +=21fxyf xf+
2、 212 fxyf xfyu yxu+=xfxyfxxfxxf1111222122 + 22212fxyf =. 例 15-2例 15-2 设在点可微, ),(yxfz =),(aabyfbxfaaafaaaa=),(),(,),(. 令),(,(,()(xxfxfxfx =,求axxdxd =)(2 解解 利用复合函数微分法则求导数: )()(2)(2xdxdxxdxd=; ),(,()(21xxfxfdxdffxdxd+= 其中, )(),(,(2121ffffxxfxfdxd+= 于是, )()(2)(2121212ffffffxxdxd+= 当ayax=,时,代入题目条件: aaafa
3、fafa=),(,(,()(,baaf=),(1, baaf=),(2. axxdxd =)(2)2(232bbba+=. 例 15-3例 15-3. 设)()(xyxgyxyfu+=,其中有连续的二阶导数,求gf ,yxuy xux+ 222解 : gxygfxu+=)()(22 gxygfxxf xxu+= =)()(1222xygxygxy xygyf + + =gxyfy + 321考研培训网址 - 1 - 清华大学东门外创业大厦 1006（电话：62796032） 2005-12 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62701055 考研数学三十六技 150考研数学三十六技 150 分杀
4、伤力分杀伤力 )(2xu yyxu =xgxygxxgyxf11)1()(2 + =gxyfyx 22. 于是yxuy xux+ 222 0=. 还可证明：uyuyxux=+,022 2 22 2= yuyxux, 222222 = yxu yu xu. 例 15-4例 15-4设。求1),(222=+=tyxtyxfutu 。 解： （1）如果将u看作的函数，则 tx,tu yt yf tf ty yf tf = += （2）如果将u看作的函数，则 ty,tu xt xf tf tx xf tf = += 例 15-5例 15-5 设(),(sinyxxfyxz+=, 其中,设2Cf (),
5、 0=P，且 ()dydxyxdfp232,=. 求 ?,?,2 =PPPyxz yz xz(4, 0, 02 =PPPyxz yz xz) 解： ()dydxyxdfp232,= ( )( )( )( )2 213,2=PfyPfPfxPf; ()0321cos21=+=+=Pxzfyfxyyxz()0cos22=Pyzfyxxyxyz()() + =2221222211sincosfyfyxfyxyyxxyyxz考研培训网址 - 2 - 清华大学东门外创业大厦 1006（电话：62796032） 2005-12 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62701055 考研数学三十六技 150考研
6、数学三十六技 150 分杀伤力分杀伤力 ()4031012 22 =+=Pyxz例 15-6例 15-6 设是二阶连续可导函数，且 (yxuu,=)()()1,2222 =+ yyxuyxyxux, ()1,2xxu及()()xxyxuxx2, 求当时时，2xy =yu , ()2,22),(xxxyxu , ()2,22),(xxyyxu 之值. (注意符号, ()()21,2,xxyyxu) 解：(1) ()1,2xxu()0,2xxudxd()()0,2,2 22 1=+xxuxxxu, ()xxxu2 1,()() 21 22,2 12 2=xx xxxuxxu (2) () ()2/
7、1,2 22 1 xxuxxxu()() ()() + + 0,2,1,2,2 222 212 122 11 xxuxxxuxxuxxxu()() ()() ()() + + + 1,0,2,1,2,2 2222 112 222 212 122 11xxuxxxuxxxuxxxuxxuxxxu() () () = 101,02100212 222 122 112xxuxxuxxuxxxx() () () = = 1010210021,122 222 122 11xxxxxxuxxuxxu() () () += 10112224241,2223223 2 222 122 11xxxyxxxxxx
8、xxuxxuxxu() () ()+= 122541,2223 2 222 122 11xxxxxxxxuxxuxxu例15-7.例15-7.设函数zf x y=( , )由方程F cxaz cybz(,)= 0确定， 求 2zx y， 其中函数F的二阶偏导数连续，。 021+FbFa解 1解 1：首先对 F cxaz cybz(,)= 0求导得到： 考研培训网址 - 3 - 清华大学东门外创业大厦 1006（电话：62796032） 2005-12 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62701055 考研数学三十六技 150考研数学三十六技 150 分杀伤力分杀伤力 =+=+0)yzb-(c)
9、yz(-a0)xz(-b)xza-(c 2 1 2 1FFFF 解之得到： +=+= 2 1 2 2 1 1c yzc xzbFaFFbFaFF. 此外， 有 2 1 12 2 2 1 11 2 121 bFaFFbcF bFaFFacFcFyF +=, 2 1 22 2 2 1 12 2 222 bFaFFbcF bFaFFacFcFyF +=. += 2 1 12c xz bFaFF yy=2 2 1 2 1 1 2 1 1)()(c)()c)(bFaFbFaFyFbFaFFy +=)2()( 222 12 112 1 2 1 22 1 22 2 112FbabFFaaFbFFFcFFFF
10、c+. 解 2:解 2: ),(0bzcyazcxFd=()()bzcydFazcxdF+21()02121=+ +dzFbFadyFcdxFc +=+= 2 1 2 2 1 1yzxzbFaFcFbFaFcF例 15-8.例 15-8.设在极坐标系中，函数(),u在全平面有二阶连续偏导数，且满足条件: =+=002222yu xuu ，求函数(),u. ( ln21ccu+=). 解: ()(uuu=,0) , ( )( )( )3222222xuxuxu+ =; ( )( )( )3222222yuyuyu+ =( )( )01=+ uu 例 15-9.例 15-9.设二阶连续可导，且( )uf()yefzxsin=满足方程：xezyz xz2 2222 =+求. () ( )uf( )uueCeCuf+=21解：xezyz xz2 2222 =+( )( )0= ufuf( )uueCeCuf+=21考研培训网址 - 4 - 清华大学东门外创业大厦 1006（电话：62796032）
