《2017-2018学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法第1课时利用数学归纳法证明等式不等式问题教学案苏教版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法第1课时利用数学归纳法证明等式不等式问题教学案苏教版选修2-2（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 2-2 教学案1第一课时第一课时 利用数学归纳法证明等式、不等式问题利用数学归纳法证明等式、不等式问题对应学生用书 P48在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下问题 1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下问题 2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？提示：一些与正整数n有关的问题数学归纳法一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果(1)当n取第一个值n
2、0(例如n01,2 等)时结论正确；(2)假设当nk(kN N*，且kn0)时结论正确，证明当nk1 时结论也正确那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立数学归纳法的两个步骤之间的联系：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得不出正确的结论，因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判断同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了对应学生用书P48苏教版 2017-2018 学年高中
3、数学选修 2-2 教学案2用数学归纳法证明恒等式例 1 用数学归纳法证明：1 .1 21 31 41 2n11 2n1 n11 n21 2n思路点拨 等式的左边有 2n项，右边共有n项，f(k)与f(k1)相比左边增二项，右边增一项，而且左右两边的首项不同因此，从nk到nk1 时要注意项的合并精解详析 (1)当n1 时，左边1 ，1 21 2右边 ，命题成立1 2(2)假设当nk时命题成立，即1 ，1 21 31 41 2k11 2k1 k11 k21 2k那么当nk1 时，左边1 1 21 31 41 2k11 2k1 2k11 2k21 k11 k21 2k1 2k11 2k2.1 k21
4、 k31 2k1 2k11 2k2右边，1 k21 k31 2k1 2k11 2k2左边右边，上式表明当nk1 时命题也成立由(1)和(2)知，命题对一切非零自然数均成立一点通 (1)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于“先看项” ，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关由nk到nk1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项(2)证明nk1 时成立，必须用到假设nk成立的结论1用数列归纳法证明：当nN N*时，135 (1)n(2n1)(1)nn.证明：(1)当n1 时，左边1，右边1，所以左边右边，等式成立苏教版 2017-2018 学年高中
5、数学选修 2-2 教学案3(2)假设当nk(k1，kN N*)时等式成立，即135 (1)k(2k1)(1)kk.那么当nk1 时，135 (1)k(2k1)(1)k1(2k1)(1)kk(1)k1(2k1)(1)k1(k)(1)k1(2k1)(1)k1(2k1k)(1)k1(k1)这就是说nk1 时等式也成立，由(1)(2)可知，对任何nN N*等式都成立2用数学归纳法证明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)证明：(1)当n1 时，左边12223，右边1(211)3，所以左边右边，等式成立(2)假设当nk时等式成立，即 12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)成立则
6、当nk1 时，左边12223242(2k1)2(2k)22(k1)122(k1)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2(2k1)(k1)4(k1)2(k1) 2k14(k1)(k1)(2k3)(k1)2(k1)1右边，所以当nk1 时，等式成立由(1)(2)可知对于任意正整数n，等式都成立用数学归纳法证明不等式例 2 求证： (n2，nN N*)1 n11 n21 3n5 6思路点拨 运用数学归纳法证明，证明时仔细观察不等式的结构特征，在第二步证明当nk1 时，如何进行不等式的变换是关键另外，要注意本题n的初始值为 2.精解详析 (1)当n2 时，左边 ，不等式成立1 31 41 51 657
7、 605 6苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 2-2 教学案4(2)假设当nk(k2，kN N*)时不等式成立，即 ，1 k11 k21 3k5 6则当nk1 时，1 k111 k121 3k1 3k11 3k21 3k3Error!Error! 1 k11 k21 3k5 6(1 3k11 3k21 3k31 k1)5 6 ，(3 1 3k31 k1)5 6 所以当nk1 时不等式也成立由(1)(2)可知原不等式对一切n2，nN N*都成立一点通 利用数学归纳法证明与n有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一，应用过程中注意：(1)证明不等式的第二步即从nk到nk1 的推导过程中要
8、应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现；(2)与n有关的不等式的证明有时并不一定非用数学归纳法不可，还经常用到不等式证明中的比较法、分析法、配方法、放缩法等3用数学归纳法证明不等式 的过程中，由nk推导1 n11 n21 nn13 24nk1 时，不等式的左边增加的式子是_解析：nk，左边 ，1 k11 k21 kknk1 时，左边 1 k21 k31 k1k1 k1k1 1 k11 k21 k31 kk1 2k11 2k11 k1 .1 k11 k21 kk1 2k12k2答案：1 2k12k24求证 (n2 且nN N*)1 21 31 41 2n1n2 2苏教版 2017-2
9、018 学年高中数学选修 2-2 教学案5证明：当n2 时，左边 ，右边0，左边右边，此时不等式成立1 21 35 622 2假设当nk(k2 且kN N*)时，不等式成立，即 .1 21 31 41 2k1k2 2当nk1 时， 1 21 31 41 2k11 2k1 2k11 2k11k2 21 2k1 2k11 22k1k2 21 2k11 2k11 2k1k2 22k 2k1k2 21 2，k1 2k12 2即当nk1 时，不等式也成立综上所述，对任何n2 且nN N*，不等式都成立5证明不等式 1n3，就需要验证n10 时不等式成苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 2-2
10、教学案6立(2)nk1 时式子的项数，特别是寻找nk与nk1 的关系时，项数发生什么变化容易被弄错因此对nk与nk1 这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障(3)“假设nk(k1)时命题成立，利用这一假设证明nk1 时命题成立” ，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设，否则这样的证明就不再是数学归纳法了另外在推导过程中要把步骤写完整，注意证明过程中的严谨性、规范性对应课时跟踪训练(十八) 一、填空题1用数学归纳法证明：“1aa2an1(a1，nN N*)” ，在验证1an2 1an1 成立时，左边_.解析：因为左边式子中a的最高指数
11、是n1，所以当n1 时，a的最高指数为 2，根据左边式子规律可得，当n1 时，左边1aa2.答案：1aa22用数学归纳法证明关于n的恒等式，当nk时，表达式为1427k(3k1)k(k1)2，则当nk1 时，表达式为_答案：1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)23用数学归纳法证明不等式 1 (nN N*)成立，其初始值至少1 21 41 2n1127 64应取_解析：左边1 2代入验证可知n的最小值为 8.1 21 41 2n11(12)n1121 2n1答案：84对于不等式(11 3)(11 5) (11 2n1)均成立2n12证明：(1)当n2 时，左边1 ；右边.1 34 352左边右边，不等式成立(2)假设nk(k2，且kN N*)时，不等式成立，即.(11 3)(11 5) (11 2k1)2k12则当nk1 时，(11 3)(11 5) (11 2k1)11 2k112k122k2 2k12k22 2k14k28k42 2k14k28k32 2k1.2k3 2k12 2k12k112所以当nk1 时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数n，不等式都成立
