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1、Summer Grass FadeArial Font Family*12 内积空间，范数 2.1 欧氏空间、酉空间 2.2 标准正交基、Schmidt方法 2.3 酉变换、正交变换 2.4 对称变换与反对称变换 2.5 正规矩阵与Schur引理 2.6 Hermite矩阵，Hermite二次齐式 2.7 正定Hermite二次型与正定Hermite矩阵 2.8 Hermite矩阵偶在复相合下的标准型 2.9 向量范数 2.10矩阵范数 2.11 诱导范数 Date22.1 欧氏空间、酉空间 2.1.1欧氏空间、酉空间 2.1.2酉(欧氏)空间的性质 2.1.3酉(欧氏)空间的度量 Date3
2、2.1 欧氏空间、酉空间2.1.1欧氏空间、酉空间 定义2.1.1 (欧氏空间)设V是实数域R上的n维线性空间，对于 V中的任意两个向量 、，按照某一确定法则对应着一个 实数，这个实数称为与的内积，记为(，)，并且要求 内积满足下列运算条件： (1) 对称性 (，) = (，) (2) 齐次性 (k，) = k (，) ，k为任意实数 (3) 可加性 ( +，) =(，) + (，) (4) 非负性 (，) 0 当且仅当 =0时 (，) = 0 称带有这样内积的n维线性空间V为欧氏空间。 Date42.1 欧氏空间、酉空间例2.1.1 在Rn中，对于 = (a1，a2，an)T ， =(b1，
3、b2，bn) T ，规定 (，)1= T = T = a1 b1+a2 b2+ anbn 容易验证， (,)1是Rn上的一个内积，从而Rn成为一个欧氏空 间。 例2.1.2 如果规定 (，)2= a1b1+2a2b2+ +nanbn 容易验证，(，)2也是Rn上的一个内积，这样Rn又成为另外 一个欧氏空间 今后在讨论Rn时都用例2.1.1中引进的内积定义。 Date52.1 欧氏空间、酉空间例2.1.3 在mn维线性空间Rmn中，规定 (A，B) = tr(ABT) 容易验证这是Rmn上的一个内积，这样Rmn在被赋予这个内 积后成为一个欧氏空间。 Date62.1 欧氏空间、酉空间定义2.1.
4、2： 设V是复数域C上的n维线性空间，对于V中的任 意两个向量、，按照某一确定法则对应着一个复数，这 个复数称为与的内积，记为(，)，并且要求内积满足 下列运算条件： (1) 对称性 (，) = ，其中 是(，)的共轭复数 (2) 齐次性 (k，) = k (，) ，k为任意复数 (3) 可加性 ( +，) =(，) +(，) (4) 非负性 (,) 0(即为非负实数) 当且仅当 =0时 (,) = 0 称定义有这样内积的n维线性空间V为n维复欧氏空间，简称为 n维酉空间。欧氏空间与酉空间通称为内积空间。 Date72.1 欧氏空间、酉空间例2.1.4 设Cn是n维复(列)向量空间，若 = (
5、a1，a2， an)T ， =(b1，b2，bn) T ，命 容易验证， (，)是Cn上的一个内积，从而Cn成为一个酉空 间，以下Cn中内积定义一般采用此公式。 例2.1.5 在n2维线性空间Cnn中，规定 (A，B) = tr(ABH) 其中，BH表示B中所有元素取共轭复数后再转置。容易验证 (A,B)是Cnn上的一个内积，从而Cnn连同这个内积一起成为 酉空间。Date82.1 欧氏空间、酉空间2.1.2酉(欧氏)空间的性质 欧氏空间可以作为酉空间的特例，因此着重对酉空间讨论， 有时我们更泛指内积空间，它包括酉空间与欧氏空间。 根据定义2.1.1，可以得到欧氏空间中内积的性质： (1) (
6、，k) = k (，) (2) (，+) =(，) + (，) Date92.1 欧氏空间、酉空间根据定义2.1.2可以得到酉空间中内积的性质：(2) (，+) =(，) +(，) Date102.1 欧氏空间、酉空间定义2.1.3：设V是n维酉空间，i为其一个基，对于V中的任 意两个向量， 那么与的内积 令 gij=(i，j) i，j=1，2，n Date112.1 欧氏空间、酉空间称G为基i的度量矩阵，而且 定义2.14 设ACmn，用表示以A的元素的共轭复数为元素组成 的矩阵，命 则称AH为的复共轭转置矩阵。由A得到AH也可视为类似于矩 阵转置的一种运算，称为矩阵的复共轭转置，或Herm
7、ite转 置(H转置)。 Date122.1 欧氏空间、酉空间不难验证复共轭转置矩阵满足下列性质： (2) (A+B)H = AH + BH (3) (kA)H = AH (4) (AB)H = BHAH (5) (AH)H = A (6) (AH)1 = (A1)H (当A可逆时) (7) (Ak)H =(AH) k 定义2.1.5：设ACmn,如果AH = A,那么称A为Hermite矩阵(H- 阵)；如果AH = A，那么称A为反Hermite矩阵(反H-阵)。 特点：Hermite矩阵的对角线元素为实数，反Hermite矩阵对角 线元素为纯虚数或0。 Date132.1 欧氏空间、酉空
8、间对于线性空间不同的基，它们的度量矩阵是不同的，它们之 间的关系由下述定理给出： 定理2.1.1 设1，2，n和 1 ， 2 ， n为线性空间 V的两个基，A、B分别为其度量矩阵,基的过渡矩阵为P，即 则两个度量矩阵A与B满足 B=PHAP 定义2.16 设A、B是n阶复矩阵，若存在P ，满足 B=PHAP 则称A和B是复相合的。若A、B与P都是实矩阵且有 B=PTAP 则称A和B是实相合的。 Date142.1 欧氏空间、酉空间2.1.3酉(欧氏)空间的度量 定义2.1.7 设V为酉(欧氏)空间，向量V的长度(模)定义为 定理2.1. 2 设V是酉(欧氏)空间,则向量长度|具有以下性质： (
9、1) 非负性 | 0 当且仅当 =0时 | = 0 (2) 齐次性 |k| = |k|，k为任意数 (3) 三角不等式 | +|+| (4) CauchySchwarz不等式 (，)| | Date152.1 欧氏空间、酉空间在欧氏空间中内积总是实数，因此CauchySchwarz不等式可 以写成 因此在欧氏空间中向量和的夹角自然可定义为 向量和之间的距离定义为 d(，) = | | 若向量的长度|=l，称是单位向量，对于任何个非零向 量，向量/| |是单位向量，称由得到/|的过程为单 位化。 Date162.2 标准正交基、Schmidt方法 定义2.2.1 若向量和的内积(，) =0，则说
10、与正交，记 之为 。 若不含零向量的向量组= (1,2,s)内的向量两两正交， (i，j) =0 i，j=1，2，n 则称向量组是正交向量组。 若一个正交向量组内的任一向量均是单位向量，则说向量组 是标准(单位)正交向量组。 Date172.2 标准正交基、Schmidt方法 根据定义不难证明： (1)向量组是正交向量组的充要条件是 i 0，i =1，2，n (i，j) = 0 ij i，j=1，2，n (2)向量组是标准正交向量组的充要条件是 (3)零向量和每个向量都正交；反之，与空间每个向量都正交的 向量必是零向量。 Date182.2 标准正交基、Schmidt方法 定理2.2.1 正交
11、向量组是线性无关向量组。 定义2.2.3 在n维内积空间中、由n个正交向量组成的基称为正 交基。由n个标准正交向量组成的基称为标准(单位)正交基 。 1，2，n是标准正交基的充要条件是(i，j) =ij ，(i， j=1，2，n)。即它的度量矩阵G是单位矩阵。 定理3.2.2 从r维内积空间的任一组基1，2，r出发，可 通过Schmidt正交化方法构造出一个标准正交基。 Date192.3 酉变换、正交变换 定义2.3.1 若n阶复矩阵A满足 AHA= AAH = E 则称A是酉矩阵，记之为AUnn。 若n阶实矩阵A有 ATA= AAT = E 则称A是正交矩阵，记之为AEnn。 根据定义容易
12、验证：若A，B Unn，则 (1) A1=AHUnn 酉矩阵的逆矩阵是其H转置 酉矩阵的逆矩阵是酉矩阵 (2) |det A| =1 酉矩阵的行列式的模等于1 (3) ATUnn 酉矩阵的转置是酉矩阵 Date202.3 酉变换、正交变换 (4) AB，BAUnn 酉矩阵的乘积是酉矩阵。 若A，B Enn，则 (1) A1=ATEnn 正交矩阵的逆矩阵是其转置 正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵 (2) det A = 1 正交矩阵的行列式等于1 (3) AB，BAEnn 正交矩阵的乘积是正交矩阵。 定理2.3.2： 设ACnn，则AUnn的充分必要条件为A的n个列( 行)向量组是标准正交向量组。 D
13、ate212.3 酉变换、正交变换 定义2. 3.2 设V是n维酉空间，是V的一个线性变换，若 ，V都有 ( ()， () = (，) 则称是V的酉变换。 设V是n维欧氏空间，若线性变换满足 ，V ，都有 ( ()， () = (，) 则称是V的正交变换。 Date222.3 酉变换、正交变换 定理2.3.3：设V是n维酉空间，是V的一个线性变换，那么下 列陈述等价： (1) 是酉变换 (2) | ()|=| V (3) 将V的标准正交基变成标准正交基 (4) 酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩阵。 设V是n维正交空间,是V的一个线性变换，那么下列陈述等价： (1) 是正交变换 (2) |
14、()|=| V (3) 将V的标准正交基变成标准正交基 (4) 正交变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵。 Date232.3 酉变换、正交变换 例2.3.1 设Cn，H=1，则 H=En2HUnn 设Rn，T =1，则 H=En2TEnn 矩阵H代表的变换称为Housholder变换或镜像变换，在矩阵计 算中有重要用途。 Date242.3 酉变换、正交变换 例2.3.2 是正交矩阵。它代表的变换称为Givens变换，也是一个重要的 变换。 Date252.4 对称变换与反对称变换 定义2.4.1 设T是欧氏空间V中的一个线性变换，如果对任意 的，V，都有 (T ()，)=(，T () 称T是欧氏空间V中的一个对称变换 定理2.4.2 欧氏空间V中的线性变换
