2017-2018学年高中数学人教b版选修4-5教学案第一章1．2基本不等式

《2017-2018学年高中数学人教b版选修4-5教学案第一章1．2基本不等式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教b版选修4-5教学案第一章1．2基本不等式（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案112基本不等式对应学生用书P7读教材填要点1定理 1设 a，bR，则 a2b22ab，当且仅当 ab 时，等号成立2定理 2(基本不等式或平均值不等式)如果 a，b 为正数，则，当且仅当 ab 时，等号成立即：两个正数的算术ab2ab平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均3定理 3(三个正数的算术几何平均值不等式)如果 a，b，c 为正数，则，当且仅当 abc 时，等号成立abc33abc4定理 4(一般形式的算术几何平均值不等式)如果 a1，a2，an为 n 个正数，则 a1a2annna1an并且当且仅当 a1a2an

2、时，等号成立小问题大思维1在基本不等式中，为什么要求 a，b(0，)?ab2ab提示：对于不等式，如果 a，b 中有两个或一个为 0，虽然不等式仍成立，ab2ab但是研究的意义不大，而且 a，b 至少有一个为 0 时，不能称为几何平均(或等比中项)，ab因此规定 a，b(0，)2满足不等式成立的 a，b，c 的范围是什么？abc33abc提示：a，b，c 的范围为 a0，b0，c0.对应学生用书P82017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案2利用基本不等式证明不等式例 1 已知 a，b，c 为正实数，且 abc1求证：(ab)(bc)(ca)8.思路点拨 本题考查基本

3、不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分析不等式的特点，先对 ab，bc，ca 分别使用基本不等式，再把它们相乘精解详析 a，b，c 为正实数，ab20，abbc20，bcca20，ca由上面三式相乘可得(ab)(bc)(ca)88abc.abbcca即(ab)(bc)(ca)8.(1)用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明(2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性得出所证的不等式1已知 a，b(0，)，求证：(ab)4.(1a1b)证明：a0，b0，ab2

4、0，ab当且仅当 ab 时取等号 20，1a1b1ab当且仅当 ，即 ab 时取等号1a1b，得(ab)224，(1a1b)ab1ab当且仅当 ab 时取等号(ab)4.(1a1b)利用算术几何平均值不等式证明不等式2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案3例 2 (1)已知 a，b，cR，求证：a2b2c226.(1a1b1c)3(2)设 a1，a2，a3均为正数，且 a1a2a3m，求证： .1a11a21a39m思路点拨 本题考查平均不等式的应用解答(1)题时可重复使用均值不等式，(2)题需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明精解详析 (

5、1)a2b2c22(1a1b1c)393a2b2c231a21b21c226，33a2b2c2931a21b21c23当且仅当 abc时等号成立43(2)m(1a11a21a3)(a1a2a3)(1a11a21a3)33 3a1a2a331a11a21a399.3a1a2a31a11a21a3当且仅当 a1a2a3 时等号成立m3又m0， .1a11a21a39m三个正数的算术几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当

6、的恒等变形后再使用定理证明连续多次使用平均值不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案42已知 a，b，cR，证明(abc)227.(1a21b21c2)证明：a，b，cR，abc30.3abc(abc)293a2b2c2又30，1a21b21c231a2b2c2(abc)239(1a21b21c2)31a2b2c23a2b2c227.当且仅当 abc 时，等号成立(abc)227.(1a21b21c2)对应学生用书P9一、选择题1设 x、y 为正实数，且 xy(xy)1，则( )Axy2(1) Bxy2(1)22Cxy

7、(1)2 Dxy(1)222解析：x0，y0，xy(xy)1xy1(xy)1(xy)2xy2(1)(xy2)2答案：A2已知圆柱的轴截面周长为 6，体积为 V，则下列关系式总成立的是( )AV BVCV DV 1818解析：设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则由题意得：4r2h6，即 2rh3，于是有 Vr2h33，(rrh3)(33)当且仅当 rh 时取等号答案：B2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案53设 x，y，zR且 xyz6，则 lg xlg ylg z 的取值范围是( )A(，lg 6 B(，3lg 2Clg 6，) D3lg 2，)解析：lg xl

8、g ylg zlg(xyz)，而 xyz3，lg(xyz)lg 83lg 2(xyz3)(当且仅当 xyz2 时，等号成立)答案：B4设 a，b，c(0，)且 abc1，令 x，则 x 的取值范围(1a1)(1b1)(1c1)为( )A. B.0，18)18，1)C1,8) D8，)解析：x(1a1)(1b1)(1c1)1aa1bb1ccbccaababc8，2 bc2 ca2 ababc当且仅当 abc 时取等号，x8.答案：D二、填空题5已知 x，yR，且满足 1，则 xy 的最大值为_x3y4解析：因为 x0，y0，所以 2 ，即 1，解得 xy3，所以其最大值为 3.x3y4x3y4x

9、y3xy3答案：36设 a1，t0，则 logat 与 loga的大小关系为 logat_loga(填“012t又 .t12t2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案6而 a1，logaloga，故填“” t12t答案：7函数 y(x0)有最大值_，此时 x_.x2x49解析：x0，x20.y ，x2x491x29x212 x29x216当且仅当 x2，即 x49，x时取等号，9x23即当 x时，ymax .316答案： 1638已知 a0，b0，c0，且 abc1，则 abc 的最大值是_解析：a，b，c(0，)，1abc3.3abc0abc3，(13)127当且

10、仅当 abc 时取等号13答案：127三、解答题9求函数 y2x2 (x0)的最小值3x解：由 x0 知 2x20，0，则32xy2x2 2x23x32x32x33.32x232x32x392当且仅当 2x2，即 x时，32x334ymin3.392323362017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案710已知 a，b 为正实数，ab1.求证：22.(a1a)(b1b)252证明：a0，b0，ab1.1ab2， .4.abab121ab ，2.ab2a2b22a2b22(ab2)2222.(a1a)(b1b)a1ab1b2(11a1b)22(121ab)2225222.(a1a)(b1b)252当且仅当 ab 时等号成立1211设 a，b，c 为正实数，求证：abc2.1a31b31c33证明：因为 a，b，c 为正实数，由算术几何平均不等式可得3，1a31b31c331a31b31c3即(当且仅当 abc 时，等号成立)1a31b31c33abc所以abcabc.1a31b31c33abc而abc22(当且仅当 a2b2c23 时，等号成立)，3abc3abcabc3所以abc2(当且仅当 abc时，等号成立)1a31b31c3363