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1、2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案1知识整合与阶段检测对应学生用书 P24对应学生用书 P24绝对值不等式的解法求解绝对值不等式或根据绝对值不等式解集及成立情况求参数的值或取值范围问题，是高考中对绝对值不等式考查的一个重要考向，每年高考均有重要体现，以填空题、解答题为主，属中档题，解绝对值不等式的基本思想，是转化、化归，不等式的性质是实现“转化”的基本依据，通过利用绝对值的几何意义、平方法、零点分区间讨论法等将绝对值不等式转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来求解例 1 不等式|x1|x|0 时， x ，得 a2.4a2a(2)法一：记 h
2、(x)f(x)2f( )，x2则 h(x)Error!所以|h(x)|1，因此 k 的取值范围是 k1.法二：Error!f(x)2fError!(x2)|2x1|2|x1|2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案32Error!1，由Error!f(x)2fError!k 恒成立，可知 k1(x2)所以 k 的取值范围是 k1.平均值不等式的应用利用平均值不等式求函数的最值及解实际问题，为近几年新课标各省市高考的热点，常与函数数列、解析几何、立体几何交汇命题，多以中档题形式出现在利用平均值不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：x、y 为正数“和”或“积”为定
3、值等号一定能取到，这三个条件缺一不可例 3 当 00，tanx0.(0，2)1tan x故 f(x)4tan x24.1tan x1tan x4tan x答案 C例 4 为了提高产品的年产量，某企业拟在 2014 年进行技术改革经调查测算，产品当年的产量 x 万件与投入技术改革费用 m 万元(m0)满足 x3(k 为常数)如果km1不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是 1 万件已知 2014 年生产该产品的固定投入为8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的 1.5 倍(生产成本包括固定投入
4、和再投入两部分资金)(1)将 2014 年该产品的利润 y 万元(利润销售金额生产成本技术改革费用)表示为技术改革费用 m 万元的函数；(2)该企业 2014 年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解 (1)由题意可知，当 m0 时，x1(万件)，13k.k2.x3.2m12017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案4每件产品的销售价格为 1.5(元)，816xx2014 年的利润yx(816x)m1.5 816xx29(m0)16m1m1(2)m0，(m1)28，16m116y29821.当m1，即 m3，ymax21.16m1该企业 2014 年的技术改革
5、费用投入 3 万元时，厂家的利润最大.不等式的证明证明不等式是近几年新课标高考的一个热点考向，常以解答题的形式出现，常与函数、数列等知识交汇命题，常用到的证明方法有：1比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件作差比较法证明的一般步骤是：作差；恒等变形；判断结果的符号；下结论其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法例 5 已知 ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明 2a3b3(2ab2a2b)2a(a
6、2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为 ab0，所以 ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即 2a3b32ab2a2b.2综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方向是“顺推” ，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论：证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案5先考虑是否具备应有的条件，避免错误、如一些带等号的不等
7、式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当时，取等号”的理由要理解掌握例 6 设 x0，y0，z0，求证：xyz.x2xyy2y2yzz2证明 x2xyy2(xy2)23y24x ， y2z ，y2zyz2(zy2)234y2y2由得：xyz.x2xyy2y2zyz23分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论分析法证明不等式的思维方向是“逆推” ，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论
8、复杂的题目往往更为有效由教材内容可知，分析法是“执果索因” ，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果” ，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用例 7 已知 a0，b0，且 ab1，求证： 2.a12b12证明 要证 2，a12b12只要证24，(a12 b12)即证 ab12 4.(a12)(b12)只要证：1.(a12)(b12)也就是要证：ab (ab) 1，12142017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5
9、 同步教学案6即证 ab .14a0，b0，ab1.1ab2，abab ，即上式成立14故 2.a12b124反证法和放缩法证明不等式(1)反证法：先假设要证明的结论是不正确的，然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的命题结论正确(2)放缩法：将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小)，使不等式由繁化简，达到证明的目的例 8 已知 a0，求证 a 2.a21a221a证明 假设 2，Bx|x26x82x|x3 或 x1”是“ 1，1a1aa所以“a1”是“ 0，ac0cababacC Dc，
10、a0，即 0，可得 ，故 A 恒成立1abacab0，故 B 恒成立bacc0.又 aca2，而 ca，对于 xR 均成立，那么实数 a 的取值范围是( )A(，5) B0,5)C(，1) D0,1解析：由绝对值的几何意义知|x2|x3|表示的是 x 与数轴上的点 A(3)及 B(2)两点距离之和，A，B 两点的距离为 5，线段 AB 上任一点到 A，B 两点距离之和也是 5.数轴上其它点到 A，B 两点距离之和都大于 5，|x2|x3|5，故 a2，2，abbabaab相加得22abbabaab即 .abbaab答案：M N6(湖南高考)若关于 x 的不等式|ax2|0，则，从大到小的顺序为
11、_12 a12 a11a a1解析：a0，2 .12 a1a a112 a1答案：12 a1a a112 a1三、解答题9某数列由下列条件确定：x1a0，xn1 ，nN.12(xnaxn)(1)证明：对 n2 总有 xn；a(2)证明：对 n2 总有 xnxn1.证明：(1)由 x1a0，及 xn1可以归纳证明 xn0，从而有12(xnaxn)xn1(nN)，所以当 n2 时，xn成立12(xnaxn)xnaxnaa(2)当 n2 时，因为 xn0，xn1，a12(xnaxn)所以 xn1xnxn 0.12(xnaxn)12ax2 nxn故当 n2 时，xnxn1成立10已知关于 x 的不等式
12、|ax1|axa|1(a0)(1)当 a1 时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为 R，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a1 时，得 2|x1|1，|x1| ，x 或 x ，123212不等式的解集为Error!.2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案10(2)|ax1|axa|a1|，原不等式解集为 R 等价于|a1|1，a2 或 a0.又a0，a2.实数 a 的取值范围为2，)11(1)设 x 是正实数，求证：(x1)(x21)(x31)8x3；(2)若 xR，不等式(x1)(x21)(x31)8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明，如果不成立，
13、请举出一个使它不成立的 x 值解：(1)证明：x 是正实数，由基本不等式知，x12，1x22x，x312，xx3故(x1)(x21)(x31)22x28x3(当且仅当 x1 时等号成立)xx3(2)若 xR，不等式(x1)(x21)(x31)8x3仍然成立由(1)知，当 x0 时，不等式成立；当 x0 时，8x30.而(x1)(x21)(x31)(x1)2(x21)(x2x1)(x1)2(x21)0，(x12)234此时不等式仍然成立对应学生用书 P49(时间 90 分钟，总分 120 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分)1若 0，则下列结论不正确的是( )1a
14、1bAa2b2 Babb2C. 2 D|a|b|ab|baab解析：法一：(特殊值法)：令 a1，b2，代入 A、B、C、D 中，知 D 不正确法二：由 0，得 ba0，所以 b2ab，aba2，故 A、B 正确1a1b又由 0， 0，且 ，得 2 正确baabbaabbaab从而 A、B、C 均正确，对于 D，由 ba0|a|b|.2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案11即|a|b|0，而|ab|0.答案：D2设 a，b，cR，则“abc1”是“abc”的( )1a1b1cA充分条件但不是必要条件B必要条件但不是充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要的条件解析：当 abc2 时，有abc，但 abc1，所以必要性不成立；1a1b1c当 abc1 时，abc1a1b1cbc ac ababcbcacab，所以充分性成立，故“abc1”是abbcac2abbcac“abc”的充分不必要条件1a1b1c答案：A3不等式Error!的解集是( )A(0,2) B(0,2.5)C
