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1、2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-4 同步教学案1_2.4一些常见曲线的参数方程对应学生用书P37读教材填要点1摆线的概念一圆周沿一直线无滑动滚动时，圆周上的一定点的轨迹称为摆线，摆线又叫旋轮线2渐开线的概念把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆3圆的渐开线和摆线的参数方程(1)摆线的参数方程：Error!.(2)圆的渐开线方程：Error!.小问题大思维1摆线的参数方程中，字母 a 和参数 t 的几何意义是什么？提示：字母 a 是指定
2、圆的半径，参数 t 是指圆滚动时转过的角度2渐开线方程中，字母 a 和参数 t 的几何意义是什么？提示：字母 a 是指基圆的半径，参数 t 是指 OA和 x 轴正向所成的角(A是绳拉直时和圆的切点)对应学生用书P38求圆的摆线的参数方程例 1 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-4 同步教学案2思路点拨 本题考查圆的摆线的参数方程的求法解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可精解详析 令 y0，可得 a(1cos t)0，由于 a0，即得 cos t1，所以 t2k(kZ)代
3、入 xa(tsin t)，得 xa(2ksin 2k)又因为 x2，所以 a(2ksin 2k)2，即得 a(kZ)1k又 a0，所以 a(kN)1k易知，当 k1 时，a 取最大值为 .1代入即可得圆的摆线的参数方程为Error!(t 为参数)由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程要确定圆的半径，通常的做法有：根据圆的性质或参数方程(普通方程)确定其半径；利用待定系数法，将摆线上的已知点代入参数方程，从而确定半径1圆的半径为 r，沿 x 轴正向滚动，圆与 x 轴相切于原点 O.圆上点 M 起始处沿顺时针已偏转 角试求点 M 的轨迹方程解：xMrrc
4、os() rsin()，22017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-4 同步教学案3yMrrsinr1cos()(2)点 M 的参数方程为Error!( 为参数).求圆的渐开线的参数方程例 2 求半径为 4 的圆的渐开线的参数方程思路点拨 本题考查圆的渐开线的参数方程的求法解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可精解详析 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量的方向0OM 为 x 轴正方向，建立坐标系设渐开线上的任意点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OAAM.按渐开线定义，的长和线段 AM 的长相等记和AM0OA x 轴正
5、向所夹的角为 (以弧度为单位)，则|AM|4.AM0作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线由三角和向量知识，得(4cos ，4sin )OA 由几何知识知MAB，(4sin ，4cos )，AM 得OM OA AM (4cos 4sin ，4sin 4cos )(4(cos sin )，4(sin cos )又(x，y)，OM 所以有Error!这就是所求圆的渐开线的参数方程2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-4 同步教学案4解本题，关键是根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识，建立等式关系用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：(1)建
6、立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)(2)取定运动中产生的某一角度为参数(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式(4)用向量运算得到 OM的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程2渐开线Error!(0t2)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为_解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径 a6，其方程为 x2y236，把基圆的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2y236，整理可得1.这是一个焦点在 x 轴上的椭圆，其中 c(12x)x2144y2366，故焦点坐标为(6，0)和(6，0)a2b21
7、4436333答案：(6，0)，(6，0)33渐开线与摆线的参数方程的应用例 3 设圆的半径为 8，沿 x 轴正向滚动，开始时圆与 x 轴相切于原点O，记圆上动点为 M，它随圆的滚动而改变位置写出圆滚动一周时 M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标 y 的最大值，说明该曲线的对称轴思路点拨 本题考查摆线的参数方程的求法及应用解答本题需要先分析题意，搞清 M 点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值精解详析 轨迹曲线的参数方程为Error!0t2.当 t 时，即 x8 时，y 有最大值 16.2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-4 同步教学案5曲线的对称轴为 x8.摆
8、线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方3已知圆 C 的参数方程是Error!和直线 l 对应的普通方程是 xy60.2(1)如果把圆心平移到原点 O，请问平移后圆和直线满足什么关系？(2)写出平移后圆的摆线方程(3)求摆线和 x 轴的交点解：(1)圆 C 平移后圆心为 O(0,0)，它到直线 xy60 的距离为 d26，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的6 22(2)由于圆的半径是 6，所以可得摆线方程是Error!(3)令 y0，得 66cos t0cos t1.所以 t2k(kZ)代入 x，得 x12k(kZ)，即圆的摆线和 x 轴的交点为(12k，0)
9、(kZ)对应学生用书 P39一、选择题1关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )A只有圆才有渐开线B渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-4 同步教学案6C正方形也可以有渐开线D对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同解析：选 C 本题主要考查渐开线和摆线的基本概念不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的
10、，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同2.Error!(t 为参数)表示的是( )A半径为 5 的圆的渐开线的参数方程B半径为 5 的圆的摆线的参数方程C直径为 5 的圆的渐开线的参数方程D直径为 5 的圆的摆线的参数方程解析：选 B 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知 B 正确3已知一个圆的参数方程为 Error!02，那么圆的摆线方程中参数取 对应的点 A 与点 B(，2)之间的距离为( )232A. 1 B.22C. D.10321解析：选 C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为 3，那么它的摆线的参数方程为Error!把 代入参数方程中可得Error!2即 A，(3(21)，3)
11、|AB| .3(21)322322104已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为( )A.Error! B.Error!2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-4 同步教学案7C.Error! D.Error!解析：选 A 圆的摆线的参数方程为Error!令 a(1cos t)0，得 t2k.代入 xa(tsin t)得 xa(2ksin 2k)又过(1,0)，a(2ksin 2k)1.a.12k又 a0，kN*.二、填空题5给出圆的渐开线的参数方程Error!根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_；当参数 取 时，对应的曲线上的点的坐标是_2解析：所给的圆的渐开线
12、的参数方程可化为Error!所以基圆半径 r3.然后把 代入方程，2可得Error!即Error!所以当参数 取 时，对应的曲线上的点的坐标是.2(32，3)答案：3 (32，3)6我们知道关于直线 yx 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线Error!关于直线 yx 对称的曲线的参数方程为_解析：关于直线 yx 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了 x 与 y 的互换，所以要写出摆线方程关于 yx 对称的曲线方程，只需把其中的 x，y 互换答案：Error!7在圆的摆线上有一点(，0)，那么在满足条件的摆线的参数方程，使圆的半径最大的摆线上，参数 对应的点的坐标为_42017-2
13、018 学年高中数学人教 B 版选修 4-4 同步教学案8解析：首先根据摆线的参数方程Error!( 为参数)，把点(，0)代入可得Error!cos 1，则 sin 0，2k(kZ)，所以，r(kZ)，又2k12kr0，所以 kN，当 k1 时 r 最大为 ，再把 代入即可124答案：(2 28，2 24)8圆的渐开线Error!上与 t 对应的点的直角坐标为_4解析：对应点的直角坐标为x2(cos44sin 4)2(22422)1 ，4y2(sin44cos4)2(22422)1 .4t 对应的点的直角坐标为.4(14，14)答案：(14，14)三、解答题9当 ， 时，求出圆的渐开线Err
14、or!上的对应点 A，B，并求出 A，B42的距离解：把 ， 分别代入参数方程得42Error!和Error!即 A，B 两点的坐标分别为2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-4 同步教学案9，(22(14)，22(14)(2，1)|AB|22(14)2222(14)12 .14 52 224 23216 210如图，ABCD 是边长为 1 的正方形，曲线 AEFGH叫做“正方形的渐开线” ，其中 AE，EF，FG，GH的圆心依次按 B，C，D，A 循环，将它们依次相连接，求曲线 AEFGH 的长解：根据渐开线的定义可知，是半径为 1 的 圆周长，长度为 ，继续旋AE142转可得是半径为 2 的 圆周长，长度为 ；是半径为 3 的 圆周长，长度为EF14FG14；是半径为 4 的 圆周长，长度为 2.所以曲线 AEFGH 的长是 5.32GH1411如图，若点 Q 在半径 AP 上(或半径 AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点 Q 的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ| 或r2|AQ|，求点 Q 的轨迹的参数方程3r2解：设 Q(x，y)，P(x0，y0)若 A(r，r)，则Error!当|AQ| 时，有Error!r2代入Error!点 Q
